6. Достижимость и связность

Рассмотрим орграф G={X, A}.

Если соответствующий ему неориентированный граф G={X, A} является связным, то орграф G называется слабо связным.

Другими словами, слабая связность означает, что пренебрегая ориентацией ребер, можно из любой вершины графа по ребрам дойти до любой другой вершины.

Вершина x_j орграфа G называется достижимой из вершины x_i, если x_i=x_j или существует простой путь из x_i в x_j.

Орграф G называется сильно связным, если любая его вершина достижима из любой другой вершины. Пример сильно связного графа приведен на рис.2.16.

Рис.2.16

Очевидно, сильно связный граф является с слабо связным графом.

Обозначим через S₁, S₂, S₃,..., S_k классы эквивалентности, получающиеся при разбиении множества вершин Х орграфа G={X, A} с помощью отношения эквивалентности, введенного ранее. Графы (S₁, A(S_k)),..., (S_k, A(S_k)) (подграфы), получающиеся из множеств S₁, S₂,..., S_k называются сильносвязными компонентами графа G; при этом множества A(S_i) представляет собой множество ориентированных дуг из А, начинающихся и заканчивающихся в вершинах множества S_i.

Рассмотрим пример. На рис.2.17 а) приведен орграф G.

Рис.2.17

Выделим классы эквивалентности множества вершин S₁={x₁, x₂, x₃}, S₂={x₄,x₅}, S₃={x₆, x₇}. Сильно связными компонентами будут три ориентированных подграфа, которые получаются после удаления из рассматриваемого графа дуг, показанных на рис.2.17 б) пунктирными линиями.

Если орграф G является сильно связным, то, очевидно, его единственный сильно связный компонентой будет он сам.

7. Ориентированные деревья

Вершина х₀ ориентированного графа G называется его корнем, если любая другая вершина достижима из х₀ (рис.2.18).

Рис.2.18

Ориентированный граф G={X, A} называется ориентированным деревом, если он имеет корень и соответствующий ему неориентированный граф G={X,A}

является деревом.

Теорема:

Ориентированное дерево имеет только один корень.

Доказательство:

Если предположить, что имеются два корня х₁ и х₂: то существует путь (х₁х₂) и наоборот (х₂х₁), то есть имеем контур (цикл).

Но по определению дерево не имеет циклов. Пришли к противоречию, следовательно, два корня не могут быть.

Пусть S - множество вершин, достижимых из вершины а. Рассмотрим подмножество {S, A(S)}. Нетрудно проверить, что этот граф является ориентированным деревом с корнем а. Это дерево называется ориентированным поддеревом графа G (рис.2.19 б)).

8. Взвешенный граф

При решении технических и хозяйственных задач приходиться вводить взвешенный граф.

Например, хотим построить сеть дорог, которые соединили бы n данных городов, причем так, чтобы пассажир мог проехать из каждого города в любой другой.

Для каждой пары городов (х, у) известна стоимость (x, у) строительства соединяющей их дороги. Задача состоит в том, чтобы построить самую дешевую из возможных сетей дорог. Вместо сети дорог можно рассматривать сеть линий электропередач, газопроводов и т.д.

Таким образом, для каждого ребра графа (х_i, x_j)A определим неотрицательное число _ij, которое назовем весом или длиной ребра (x_i, x_j).

Аналогично, по степени значимости городов можно ввести каждой вершине графа вес W_i.

В результате получим взвешанный граф G с множеством взвешанных вершин W_i (i=1, 2,..., n) и множеством взвешанных ребер {(x_i, x_j)| (x_i, x_j)}.

Взвешанный граф представляет собой граф плюс функции, определенные на вершинах и ребрах.

\