
- •Графы Предмет теории графов
- •§1 Неориентированные графы
- •Понятие о графе
- •Задание графов с помощью матриц.
- •Изоморфные графы
- •Плоские графы
- •Цепи и циклы
- •Связанность и подграфы
- •Эйлеровы и гамильтоновы графы
- •Деревья и лес
- •Цикломатическое число графа
- •Хроматическое число графа.
- •§2. Ориентированные графы
- •Понятие об ориентированном графе
- •Задание орграфа с помощью матриц
- •Путь и контур
- •Достижимость и связность
- •Ориентированные деревья
- •Взвешенный граф
- •§3. Оптимизационные задачи на графах
Достижимость и связность
Рассмотрим орграф G={X, A}.
Если соответствующий ему неориентированный граф G={X, A} является связным, то орграф G называется слабо связным.
Другими словами, слабая связность означает, что пренебрегая ориентацией ребер, можно из любой вершины графа по ребрам дойти до любой другой вершины.
Вершина xj орграфа G называется достижимой из вершины xi, если xi=xj или существует простой путь из xi в xj.
Орграф G называется сильно связным, если любая его вершина достижима из любой другой вершины. Пример сильно связного графа приведен на рис.2.16.
Рис.2.16
Очевидно, сильно связный граф является с слабо связным графом.
Обозначим через S1, S2, S3,..., Sk классы эквивалентности, получающиеся при разбиении множества вершин Х орграфа G={X, A} с помощью отношения эквивалентности, введенного ранее. Графы (S1, A(Sk)),..., (Sk, A(Sk)) (подграфы), получающиеся из множеств S1, S2,..., Sk называются сильносвязными компонентами графа G; при этом множества A(Si) представляет собой множество ориентированных дуг из А, начинающихся и заканчивающихся в вершинах множества Si.
Рассмотрим пример. На рис.2.17 а) приведен орграф G.
Рис.2.17
Выделим классы эквивалентности множества вершин S1={x1, x2, x3}, S2={x4,x5}, S3={x6, x7}. Сильно связными компонентами будут три ориентированных подграфа, которые получаются после удаления из рассматриваемого графа дуг, показанных на рис.2.17 б) пунктирными линиями.
Если орграф G является сильно связным, то, очевидно, его единственный сильно связный компонентой будет он сам.
Ориентированные деревья
Вершина х0 ориентированного графа G называется его корнем, если любая другая вершина достижима из х0 (рис.2.18).
Рис.2.18
Ориентированный граф G={X, A} называется ориентированным деревом, если он имеет корень и соответствующий ему неориентированный граф G={X,A}
является деревом.
Теорема:
Ориентированное дерево имеет только один корень.
Доказательство:
Если предположить, что имеются два корня х1 и х2: то существует путь (х1х2) и наоборот (х2х1), то есть имеем контур (цикл).
Но по определению дерево не имеет циклов. Пришли к противоречию, следовательно, два корня не могут быть.
Пусть S - множество вершин, достижимых из вершины а. Рассмотрим подмножество {S, A(S)}. Нетрудно проверить, что этот граф является ориентированным деревом с корнем а. Это дерево называется ориентированным поддеревом графа G (рис.2.19 б)).
Взвешенный граф
При решении технических и хозяйственных задач приходиться вводить взвешенный граф.
Например, хотим построить сеть дорог, которые соединили бы n данных городов, причем так, чтобы пассажир мог проехать из каждого города в любой другой.
Для каждой пары городов (х, у) известна стоимость (x, у) строительства соединяющей их дороги. Задача состоит в том, чтобы построить самую дешевую из возможных сетей дорог. Вместо сети дорог можно рассматривать сеть линий электропередач, газопроводов и т.д.
Таким образом, для каждого ребра графа (хi, xj)A определим неотрицательное число ij, которое назовем весом или длиной ребра (xi, xj).
Аналогично, по степени значимости городов можно ввести каждой вершине графа вес Wi.
В результате получим взвешанный граф G с множеством взвешанных вершин Wi (i=1, 2,..., n) и множеством взвешанных ребер {(xi, xj)| (xi, xj)}.
Взвешанный граф представляет собой граф плюс функции, определенные на вершинах и ребрах.
\