Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Графы для заочников.doc
Скачиваний:
1
Добавлен:
01.05.2025
Размер:
17.25 Mб
Скачать
  1. Достижимость и связность

Рассмотрим орграф G={X, A}.

Если соответствующий ему неориентированный граф G={X, A} является связным, то орграф G называется слабо связным.

Другими словами, слабая связность означает, что пренебрегая ориентацией ребер, можно из любой вершины графа по ребрам дойти до любой другой вершины.

Вершина xj орграфа G называется достижимой из вершины xi, если xi=xj или существует простой путь из xi в xj.

Орграф G называется сильно связным, если любая его вершина достижима из любой другой вершины. Пример сильно связного графа приведен на рис.2.16.

Рис.2.16

Очевидно, сильно связный граф является с слабо связным графом.

Обозначим через S1, S2, S3,..., Sk классы эквивалентности, получающиеся при разбиении множества вершин Х орграфа G={X, A} с помощью отношения эквивалентности, введенного ранее. Графы (S1, A(Sk)),..., (Sk, A(Sk)) (подграфы), получающиеся из множеств S1, S2,..., Sk называются сильносвязными компонентами графа G; при этом множества A(Si) представляет собой множество ориентированных дуг из А, начинающихся и заканчивающихся в вершинах множества Si.

Рассмотрим пример. На рис.2.17 а) приведен орграф G.

Рис.2.17

Выделим классы эквивалентности множества вершин S1={x1, x2, x3}, S2={x4,x5}, S3={x6, x7}. Сильно связными компонентами будут три ориентированных подграфа, которые получаются после удаления из рассматриваемого графа дуг, показанных на рис.2.17 б) пунктирными линиями.

Если орграф G является сильно связным, то, очевидно, его единственный сильно связный компонентой будет он сам.

  1. Ориентированные деревья

Вершина х0 ориентированного графа G называется его корнем, если любая другая вершина достижима из х0 (рис.2.18).

Рис.2.18

Ориентированный граф G={X, A} называется ориентированным деревом, если он имеет корень и соответствующий ему неориентированный граф G={X,A}

является деревом.

Теорема:

Ориентированное дерево имеет только один корень.

Доказательство:

Если предположить, что имеются два корня х1 и х2: то существует путь (х1х2) и наоборот (х2х1), то есть имеем контур (цикл).

Но по определению дерево не имеет циклов. Пришли к противоречию, следовательно, два корня не могут быть.

Пусть S - множество вершин, достижимых из вершины а. Рассмотрим подмножество {S, A(S)}. Нетрудно проверить, что этот граф является ориентированным деревом с корнем а. Это дерево называется ориентированным поддеревом графа G (рис.2.19 б)).

  1. Взвешенный граф

При решении технических и хозяйственных задач приходиться вводить взвешенный граф.

Например, хотим построить сеть дорог, которые соединили бы n данных городов, причем так, чтобы пассажир мог проехать из каждого города в любой другой.

Для каждой пары городов (х, у) известна стоимость (x, у) строительства соединяющей их дороги. Задача состоит в том, чтобы построить самую дешевую из возможных сетей дорог. Вместо сети дорог можно рассматривать сеть линий электропередач, газопроводов и т.д.

Таким образом, для каждого ребра графа (хi, xj)A определим неотрицательное число ij, которое назовем весом или длиной ребра (xi, xj).

Аналогично, по степени значимости городов можно ввести каждой вершине графа вес Wi.

В результате получим взвешанный граф G с множеством взвешанных вершин Wi (i=1, 2,..., n) и множеством взвешанных ребер {(xi, xj)| (xi, xj)}.

Взвешанный граф представляет собой граф плюс функции, определенные на вершинах и ребрах.

\