6. Связанность и подграфы

Определение:

Граф G={Х, А} называется связным (связанным), если между произвольными различными двумя его вершинами существует цепь

Все рассмотренные ранее графы, за исключением графов на рис. 2 и 8, были связными.

У несвязного графа не все вершины соединены цепью (рис.1.18).

Рис.1.18

У графа (рис.1.18) не все вершины можно соединить цепью, например, между вершинами х₁ и х₅, х₁ и х₁₀ и т.д. Граф, представленный на рис1.18 не является связанным. Его множество вершин Х={х₁, х₂, х₃, х₄, х₅, х₆, х₇, х₈, х₉, х₁₀} и множество ребер А={(х₁, х₂), (х₂, х₃), (х₃, х₄), (х₄, х₁), (х₅, х₆), (х₆, х₇), (х₇, х₈), (х₈,х₆), (х₉, х₁₀)}.

Пусть V_i - недопустимое подмножество множества вершин Х графа G={X,A}. Например, V₁={х₁, х₂, х₃, х₄}; V₂={х₅, х₆, х₇, х₈}; V₃={х₉, х₁₀}.

Обозначим через A(V_i|) совокупность ребер графа, обе концевые точки которых принадлежат V_i.

Например, A(V₁)={ (х₁, х₂), (х₂, х₃), (х₃, х₄), (х₄, х₁)}; A(V₂){ (х₅, х₆), (х₆, х₇), (х₇, х₈), (х₈,х₆)}; A(V₃)={(х₉, х₁₀)}.

Граф G_i={V_i, A(V_i)} называется подграфом графа G.

На множестве вершин графа G={Х, А} определим отношение « », считая, что х_i x_j, если x_i=x_j, или в графе существует цепь, соединяющая x_i и x_j. Это отношение является отношением эквивалентности.

Очевидно, V₁, V₂, V₃ - классы эквивалентности множества вершин Х графа G={Х, Ф}.

Определение:

Если подмножества V_i представляют классы эквивалентности множества вершин Х, то подграфы G_i={V_i, A(V_i)} графа G называются связными компонентами этого графа, а их число К называется степенью связности.

Граф, представленный на рис.1.18 имеет 3 связных компоненты {V₁, A(V₁)}, {V₂, A(V₂)}, {V₃, A(V₃)} и его степень связности равна 3. Весь граф разлагается в сумму своих связных компонент.

Очевидно, что степень связности связного графа равна 1 и его единственная связная компонента совпадает с самим графом.

Определение:

Остовным подграфом графа G называется граф G_y={X, A_y}, для которого A_yA.

Т.е. остовный подграф имеет тоже множество вершин, что и граф G, но множество ребер подграфа G_y является подмножеством множества ребер А исходного графа. На рис. 1.19 а) изображен исходный граф G={X, A}; на рис.1.19 б) - остовный подграф G₁ графа G и на рис.1.19 в) - подграф G₂ графа G.

Рис.1.19

Остовный подграф G, имеет множество вершин Х={х₁, х₂, х₃, х₄, х₅}, совпадающие с множеством графа G , и множество ребер А={(х₁, х₂), (х₂, х₃), (х₃, х₄), (х₄, х₅)}, являющиеся подмножеством множества А исходного графа. Подграф G₂ имеет подмножество V₂ множества вершин Х (V₂={x₁, x₂, x₃, x₅}) и подмножество ребер А₂{(х₁, х₂), (х₁, х₃), (х₃, х₅)}.

Определение:

Граф G={Х, А} называется двудольным, если множество его вершин Х можно разбить на два непересекающихся подмножества V₁ и V₂ таких, что каждое ребро имеет один конец в V₁, а другой в V₂.

Примером двудольного графа является граф, изображенный на рис.1.14. Одно подмножество вершин V₁={A, B, C}, второе - V₂={X, Y, Z}.

Определение:

Двудольный граф G={V₁V₂, A} называется полным двудольным графом, если каждая вершина подмножества V₁ соединена ребром с каждой вершиной подмножества V₂.

Если число вершин подмножеств V₁ и V₂ равно соответственно r и s, то полный двудольный граф обозначается K_r,s. Граф, изображенный на рис.1.14, является полным двудольным графом; обозначим его через K_3,3.

Напомним, что этот граф не является плоским.

Полные графы с n вершинами ранее обозначали через К_n (рис.1.3, 1.4, 1.5).

Примерами неплоских графов, которые играют важную роль в теории плоских графов, являются: полный граф с пятью вершинами К₅ и полный двудольный граф К_{3, 3}.

Теорема:

Граф G={X, A} является плоским тогда и только тогда, когда никакой его подграф не совпадает с К₅ и К_{3, 3}.