4. Плоские графы

Определение:

Плоским графом называется граф. Который можно начертить на плоскости таким образом, чтобы его ребра не имели точек пересечения, отличных от вершин.

Для многих целей безразлично, как именно изображен граф. Изоморфные графы, доставляющие одну и ту же информацию, могут рассматриваться как один граф. Сравним два изолированных графа, изображенных на рис.1.13

Рис. 1.13

На первом из них ребра пересекаются в пяти точках, не являются вершинами графа, на втором все точки пересечения ребер графа служат его вершинами, следовательно, граф является плоским.

Плоский граф можно рассматривать как карту дорог, соединяющих между собой различные станции.

План любого города тоже является плоским графом, где улицы служат ребрами, а площади и уличные перекрестки - вершинами.

Рассмотрим одну очень старую головоломку (Задача о трех домах и трех колодцах). На одном участке земли были построены три дома и вырыты три колодца для их обитателей. Природа страны и ее климат таковы, что колодцы часто пересыхают, поэтому важно, чтобы от каждого дома имелся доступ к каждому из трех колодцев. На рис.1.14 изображен граф, отвечающий естественному расположению дорожек, когда все они прямолинейны. Дома обозначены через А, В, С,

а колодцы - X, Y, Z. Спустя некоторое время обитатели домов А, В, С поссорились друг с другом и решили проложить дорожки к трем колодцам X, Y, Z так чтобы дорожки не пересекались, чтобы им не приходилось встречать друг друга.

?

Рис.1.15

На рис.1.15 показано. Что число точек пересечения можно свести к 1. Является ли соответствующий граф плоским, т.е. можно ли провести дорожки так, чтобы они не пересекались нигде, кроме вершин графа А, В, С, X, Y, Z. Сколько ни пытайтесь, вы не найдете нужного решения. Строгое доказательство рассмотрим позже. Следовательно, граф, изображенный на рис.1.14 не является плоским.

Существует даже граф, имеющий всего пять вершин и не являющийся плоским - это полный граф с пятью вершинами (рис.1.14).

5. Цепи и циклы

Маршрутом М из Х₀ в Х_к в графе G называется конечная последовательность попарно смежных ребер вида (х₀, х₁), (х₁, х₂), (х₂, х₃) ,..., (х_к-1, х_к), которую будем обозначать х₀х₁х₂...х_к.

Началом маршрута считается вершина х₀, а концом маршрута - вершина х_к. Если х₀х_к, то маршрут незамкнутый (открытый).

Число К, входящих в маршрут М ребер, называется длиной маршрута.

Открытый маршрут называется цепью, если все ребра маршрута различны.

Маршрут называется простой цепью, если цепь с различными вершинами.

Цепь называется циклом, если цепь замкнута, т.е. х₀=х_к.

Цикл, все вершины которого различны, называется на графе (рис.1.17).

Последовательность ребер, соединяющих вершины х₀, х₁, х₂, х₃, х₄, х₅, является маршрутом. Начало маршрута в вершине х₀, а конец - в х₅, заметим ребро (х₁, х₂) проходиться дважды. Маршрут х₀, х₁, х₂, х₃, х₄, х₅, является цепью, при этом вершина х₂ проходится дважды. Цепь х₀, х₁, х₂, х₃, х₄, х₅, является простой цепью. Цепь х₁, х₂, х₃, х₄, х₅, х₁, является циклом (вершина х₂ пройдена дважды). Цепь х₁, х₂, х₃, х₄, х₅, х₁, является простым циклом.