Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Графы для заочников.doc
Скачиваний:
2
Добавлен:
01.05.2025
Размер:
17.25 Mб
Скачать
  1. Задание графов с помощью матриц.

Для задания графов существует несколько матриц, основные из которых матрицы смежности и инцидентности.

Предположим граф G={X, A} имеет n вершин и m ребер, где конечное множество вершин - Х={х1, х2, ..., хn} и множество ребер А={l1, l2, l3, ..., lm}.

Матрицей инцидентности графа G называется матрица R=rij размера nхm, у которой элементы

Принято, петле соответствует нулевой столбец. Матрица инцидентности только указывает на наличие петель в графе, но не указывает, каким вершинам эти петли инцидентны.

Например, для графа, изображенного на рис.1.9 имеем матрицу инцидентности R

Рис.1.9

Заполнить матрицу удобнее по столбцам.

Каждый столбец матрицы имеет два элемента 1, остальные - 0. Элемент 1 ставиться в строках, соответствующих вершинам, которые соединяют это ребро.

Матрица смежности графа G называется матрица Q=qij размера nn, в который элемент qij равен числу ребер в G, соединяющих вершину хi с вершиной хj. Матрица смежности Q является симметрической, т.е. qij=qji.

Для графа, изображенного на рис.1.9 матрица смежности имеет вид.

Матрица смежности полностью определяет граф.

Пример. Задана симметричная матрица неотрицательных целых чисел. Нарисовать на плоскости граф G, имеющий заданную матрицу Q своей матрицей смежности. Найти матрицу инцидентности R графа G.

Решение Построим граф по заданной матрице смежности Q.

Рис.1.10

Теперь найдем матрицу инцидентности графа G

Петле соответствует нулевой столбец. Ребро (х1, х2) имеет кратность 2, поэтому ребра l2 и l3 имеют одинаковые столбцы, аналогично и столбцы l8 и l9 одинаковые.

Решение закончено.

Построенный граф G на рис.1.10 может выглядеть и иначе (рис 1.11 а и б)

а) G1 б) G2

Рис.1.11

Очевидно, что графы, которые могут быть изображены различным образом, могут соответствовать одним и тем же элементам некоторой системы и выражать одни и те же отношения.

  1. Изоморфные графы

Заметим, что один и тот же G (рис.1.10, 1.11) можно изображать по разному.

Во-первых, совсем не обязательно изображать его ребра прямолинейными. Можно провести любые линии, соединяющие те же самые вершины, что и раньше.

Во-вторых, можно произвольно располагать вершины на плоскости.

Однако установить эквивалентность двух графов иногда очень сложно.

Определение:

Два графа, между вершинами и ребрами которых можно установить взаимно однозначное соответствие с сохранением смежности, называется изоморфными.

Операция замены графа G на изоморфный ему граф G1 представляет деформацию графа G без разрезания ребер. Например, графы G1 и G2 рис.1.12 изоморфны,

G1 G2

Рис.1.12

так как граф G2 можно получить из графа G1 путем деформации этого графа без разрезания ребер (вершину х4 переместим во внутрь треугольника, при этом ребра деформируются).

Между вершинами и ребрами этих графов можно установить взаимно однозначное соответствие, сохраняющее смежность.

Нередко приходиться решать вопрос о том, являются ли два данных графа изоморфными. Иногда это сразу ясно, что это не так. Не могут быть изоморфными графы, имеющие разное число вершин и неодинаковое число ребер.

Пример:

Изоморфны или нет следующие пары графов ?

x1y1, x2y2, x3y3, x4y4, x5y5, x6y6.

Соответствие вершин установлено, проверим смежность вершин:

x1x2, x5, x6;

y1y2, y5, y6;

x2x1, x4, x3;

y2y1, y4, y3;

x3x2, x4, x6;

y3y2, y4, y6;

x4x2, x3, x5;

y4y2, y3, y5;

x5x1, x4, x6;

y5y1, y4, y6;

x6x1, x3, x5;

y6y1, y3, y5;

Смежность вершин сохранена. Следовательно, эти графы изоморфны.