
- •Графы Предмет теории графов
- •§1 Неориентированные графы
- •Понятие о графе
- •Задание графов с помощью матриц.
- •Изоморфные графы
- •Плоские графы
- •Цепи и циклы
- •Связанность и подграфы
- •Эйлеровы и гамильтоновы графы
- •Деревья и лес
- •Цикломатическое число графа
- •Хроматическое число графа.
- •§2. Ориентированные графы
- •Понятие об ориентированном графе
- •Задание орграфа с помощью матриц
- •Путь и контур
- •Достижимость и связность
- •Ориентированные деревья
- •Взвешенный граф
- •§3. Оптимизационные задачи на графах
Задание графов с помощью матриц.
Для задания графов существует несколько матриц, основные из которых матрицы смежности и инцидентности.
Предположим граф G={X, A} имеет n вершин и m ребер, где конечное множество вершин - Х={х1, х2, ..., хn} и множество ребер А={l1, l2, l3, ..., lm}.
Матрицей инцидентности графа G называется матрица R=rij размера nхm, у которой элементы
Принято, петле соответствует нулевой столбец. Матрица инцидентности только указывает на наличие петель в графе, но не указывает, каким вершинам эти петли инцидентны.
Например, для графа, изображенного на рис.1.9 имеем матрицу инцидентности R
Рис.1.9
Заполнить матрицу удобнее по столбцам.
Каждый столбец матрицы имеет два элемента 1, остальные - 0. Элемент 1 ставиться в строках, соответствующих вершинам, которые соединяют это ребро.
Матрица смежности графа G называется матрица Q=qij размера nn, в который элемент qij равен числу ребер в G, соединяющих вершину хi с вершиной хj. Матрица смежности Q является симметрической, т.е. qij=qji.
Для графа, изображенного на рис.1.9 матрица смежности имеет вид.
Матрица смежности полностью определяет граф.
Пример. Задана симметричная матрица неотрицательных целых чисел. Нарисовать на плоскости граф G, имеющий заданную матрицу Q своей матрицей смежности. Найти матрицу инцидентности R графа G.
Решение Построим граф по заданной матрице смежности Q.
Рис.1.10
Теперь найдем матрицу инцидентности графа G
Петле соответствует нулевой столбец. Ребро (х1, х2) имеет кратность 2, поэтому ребра l2 и l3 имеют одинаковые столбцы, аналогично и столбцы l8 и l9 одинаковые.
Решение закончено.
Построенный граф G на рис.1.10 может выглядеть и иначе (рис 1.11 а и б)
а) G1 б) G2
Рис.1.11
Очевидно, что графы, которые могут быть изображены различным образом, могут соответствовать одним и тем же элементам некоторой системы и выражать одни и те же отношения.
Изоморфные графы
Заметим, что один и тот же G (рис.1.10, 1.11) можно изображать по разному.
Во-первых, совсем не обязательно изображать его ребра прямолинейными. Можно провести любые линии, соединяющие те же самые вершины, что и раньше.
Во-вторых, можно произвольно располагать вершины на плоскости.
Однако установить эквивалентность двух графов иногда очень сложно.
Определение:
Два графа, между вершинами и ребрами которых можно установить взаимно однозначное соответствие с сохранением смежности, называется изоморфными.
Операция замены графа G на изоморфный ему граф G1 представляет деформацию графа G без разрезания ребер. Например, графы G1 и G2 рис.1.12 изоморфны,
G1 G2
Рис.1.12
так как граф G2 можно получить из графа G1 путем деформации этого графа без разрезания ребер (вершину х4 переместим во внутрь треугольника, при этом ребра деформируются).
Между вершинами и ребрами этих графов можно установить взаимно однозначное соответствие, сохраняющее смежность.
Нередко приходиться решать вопрос о том, являются ли два данных графа изоморфными. Иногда это сразу ясно, что это не так. Не могут быть изоморфными графы, имеющие разное число вершин и неодинаковое число ребер.
Пример:
Изоморфны или нет следующие пары графов ?
x1y1, x2y2, x3y3, x4y4, x5y5, x6y6.
Соответствие вершин установлено, проверим смежность вершин:
-
x1x2, x5, x6;
y1y2, y5, y6;
x2x1, x4, x3;
y2y1, y4, y3;
x3x2, x4, x6;
y3y2, y4, y6;
x4x2, x3, x5;
y4y2, y3, y5;
x5x1, x4, x6;
y5y1, y4, y6;
x6x1, x3, x5;
y6y1, y3, y5;
Смежность вершин сохранена. Следовательно, эти графы изоморфны.