geo112@mail.ru
Контрольные задания по курсу «Теория математической обработки геодезических измерений» Задание 1 (с примером решения)
Вычислить наиболее возможное число ошибок Δ из общего их числа n=100, превышающих по абсолютной величине: а) одинарное с.к.о. измерений, т.е. σ; б) удвоенное с.к.о. измерений, т.е. 2σ; в) 2,5σ; г) утроенное с.к.о. измерений, т.е. 3σ, при n=1000.
Примечание: с.к.о.
– среднеквадратическая ошибка,
обозначается
или m.
Решение: Для начала необходимо правильно записать, что нам дано по условию задачи и что надо найти.
По условию задачи:
а)
n=100
и
;
б)
n=100
и
;
в)
n=100
и
г)
n=1000
и
.
Необходимо
определить: а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
Приведем алгоритм решения задания а). Решение сводится к нахождению соответствующих значений интеграла вероятности Ф(t) по таблице в Приложение 1.
Алгоритм решения задания а):
Находим значение
интеграла вероятности Ф(t)
при заданном предельном значении
,
равном одинарному с.к.о. измерений, т.е.
σ.
Для этого необходимо вычислить значение
центрированной, нормированной случайной
величины t
для данного предельного значения.
Хочется отметить, что в данном случае
речь идет о случайных ошибках измерений
,
которые уже являются центрированными
величинами, т.к. обладают свойством
компенсации.
=
Ф(t),
где
.
Подставляем в
числитель предельное значение
и получаем
=1.
Теперь по заданному значению центрированной нормированной случайной величины t можно определить соответствующее значение Ф(t) по таблице из Приложения 1.
Для t=1 интеграл вероятности Ф(t)=0,683. Следовательно, вероятность попадания случайной величины по абсолютной величине в интервал, не превышающий одинарной с.к.о. σ, равен 0,683.
Однако по условию задачи надо было наоборот определить вероятность попадания случайной величины Δ в интервал, превышающий одинарное с.к.о. σ измерения, т.е. .
Для этого необходимо
вычесть
из 1, т.е.
=1–
.
=1–0,683= 0,317
Чтобы найти число ошибок Δ из общего их числа n=100, превышающих по абсолютной величине одинарное с.к.о., перемножим вероятность попадания случайной величины Δ в интервал, превышающий одинарное с.к.о. и количество ошибок:
Для контроля вычислим число ошибок Δ, не превышающих по абсолютной величине одинарное с.к.о. измерений:
Определим общее
число ошибок:
=32+68=100.
Ответ: а) 32 ошибки по абсолютной величине превысят одинарное значение с.к.о., если общее число ошибок равно 100.
Задания б), в) и г) решаются по аналогии, поэтому приведем итоговую таблицу результатов вычислений:
Число ошибок n |
Заданное предельное значение |
t |
Ф(t) |
= 1– |
Число ошибок |
Контроль |
|
превышающих
заданное значение
|
укладывающихся в пределы от 0 до ±σ |
||||||
100 |
2,0σ |
2,0 |
0,955 |
0,045 |
5 |
95 |
100 |
100 |
2,5σ |
2,5 |
0,988 |
0,012 |
1 |
99 |
100 |
1000 |
3,0σ |
3,0 |
0,997 |
0,003 |
3 |
997 |
1000 |
