3.2. Кінематичне дослідження механізмів за допомогою планів швидкостей та прискорень

Метод планів має ряд переваг: простота, наочність, можливість визначення лінійних швидкостей та прискорень точок, кутових швидкостей і прискорень ланок механізму в даному його положенні.

Побудова планів швидкостей і прискорень починається з ведучої ланки, закон руху якої задано. Потім послідовно розглядають групи Ассура в порядку їх з'єднання з початковим механізмом.

Будуємо план швидкостей для положення механізму φ₂=90° (рис. 1.5).

Рис. 1.5

Кутова швидкість ведучої ланки ОА

ω₁=20 с^-1=20 рад/с

Величина швидкості точки А ведучої ланки механізму:

V_а= ω₁·l_OA=20·0,3=6 м/с

Вектор швидкості точки А спрямований перпендикулярно ланці ОА в напрямку її обертання.

Із точки p_v – полюса плану швидкостей – проводимо вектор мм, що зображає швидкість точки А в масштабі:

.

Вектор проводимо перпендикулярно ланці ОА в напрямку обертання.

Для групи 2-3 складаємо систему векторних рівнянь.

.

Швидкість точки А відома за значенням і напрямом. Відносна швидкість відома за напрямом – вона перпендикулярна ланці АВ, але невідома за величиною. Швидкість точки С=0, , тобто вона знаходиться у полюсі p_v. Відносна швидкість перпендикулярна ланці ВС, але невідома за величиною.

З кінця вектора на плані швидкостей проводимо лінію, перпендикулярну ланці АВ, а з полюса р_v – лінію, перпендикулярну ланці ВС. Точку перетину цих ліній позначимо b. Вектор зображає на плані швидкостей абсолютну швидкість точки В; ії модуль дорівнює:

V_В=р_vbμ_v=200,2=4 [м/с].

Відносна швидкість зображена на плані швидкостей відрізком і ії модуль дорівнює:

V_ва=bа μ_v=29 0,2=5,8 [м/с].

Для знаходження швидкості точки Д скористаємося теоремою подібності фігур, які утворюють вектори відносних швидкостей і фігури на плані механізму.

Фігура відносних швидкостей на плані швидкостей подібна фігурі на плані механізму, але повернена відносно останньої на 90° у напрямі кутової швидкості фігури механізму.

[мм].

Відклавши на продовженні відрізка ( ) відрізок bd=7мм, одержимо точку d. Модуль абсолютної швидкості точки Д визначаємо за формулою:

V_ДВ= р_vd_v=70,2=1,4 [м/с].

Швидкості центрів ваги знаходимо теж за теоремою подібності:

[м/с];

[м/с];

[м/с].

Кутова швидкість ланки ОА відома ₁ =20 с^-1, має напрям проти руху годинникової стрілки. Кутова швидкість ланки АВ визначаємо за формулою:

с^-1.

Для знаходження напряму руху кутової швидкості ω₂ перенесемо уявно відрізок ( ), що зображує у точку В механізму. Він показує в якому напрямку обертається точка В і всі інші точки ланки АВ навколо точки А. Швидкість ω₂ має напрям проти руху годинникової стрілки.

Кутова швидкість ланки СД:

с^-1

і має напрям по годинниковій стрілці. Для визначення ω₃ перенесемо уявно відрізок ( ), що зображає , у точку В механізму. Він показує, у якому напрямку обертається точка В і всі інші точки ланки ВС навколо точки С.

Побудова плану прискорень здійснюється в тій же послідовності, що і план швидкостей:

а_А = а_О+ а_АО; а_О=0, то а_А =а_АО

.

Оскільки ланка АО рухається рівномірно (V_A = const), то а^_AO=0. Тоді:

[м/с²].

Вектор має напрям уздовж ланки ОА від точки А до точки О, тобто до центру обертання (рис. 1.6).

Рис. 1.6

З точки р_а – полюса плану прискорень – проводимо відрізок довільної довжини ( мм), що зображає вектор прискорення а_А в масштабі:

.

Відрізок проводимо паралельно ОА у напрямі від точки А до точки О.

Для групи 2-3 складаємо векторну систему рівнянь:

.

Прискорення точки А відоме за модулем, значенням і напрямом. Прискорення точки С дорівнює 0, тобто точка С знаходиться у полюсі. Прискорення аⁿ_ва паралельне АB і спрямоване від точки В до точки А. Значення цього прискорення

[м/с²].

Прискорення а^_ВA перпендикулярне АB. Модуль цього прискорення поки що невідомий.

Прискорення аⁿ_BC паралельне ВС і спрямоване від точки В до точки С.

Модуль прискорення:

[м/с²].

Прискорення а^_ВC перпендикулярно ВС, модуль цього прискорення поки що невідомий. З кінця вектора проводимо пряму, паралельну АB, у напрямі від точки В до точки А. На ній відкладаємо вектор , що зображує прискорення аⁿ_BA. Величина цього вектора:

[мм].

З точки п проводимо пряму, перпендикулярну АВ, що зображує напрям а^_BA.

З полюса р_а, тобто з точки С, проводимо пряму, паралельну ВС у напрямі від точки В до точки С. На ній відкладаємо вектор , що зображує прискорення аⁿ_BС .Величина вектора:

[мм].

З точки m проводимо пряму, перпендикулярну ВС, яка зображує напрям а^_ВС. Точку перетину цього перпендикуляра з перпендикуляром, проведеним з точки п, позначимо точкою b. З’єднаємо точку b з полюсом і точкою а.

Абсолютне прискорення точки В:

[м/с²].

Відносне прискорення:

[м/с²].

Для знаходження прискорень точки Д та центрів ваги, скористаємося теоремою подібності фігур, утворених векторами відносних прискорень і фігур на плані механізму:

Фігура відносних прискорень на плані прискорень подібна фігурі на плані механізму, але повернена відносно неї на 180° - у напрямі кутового прискорення фігури. Кут  визначається з рівності:

.

Відклавши на продовженні вектора відрізок bd=8,8 мм, одержуємо точку d.

Модуль абсолютного прискорення точки Д:

[м/с²].

Модулі тангенціальних прискорень та прискорень центрів ваги:

[м/с²];

[м/с²];

[м/с²];

[м/с²];

[м/с²].

Кутове прискорення ланки ОА дорівнює 0. Кутове прискорення ланки АВ:

[с^-2].

Це прискорення спрямоване проти руху годинникової стрілки. Щоб визначити його напрям, переносимо уявно вектор а^_BA (відрізок (mb)) у точку В механізму і розглядаємо рух цієї точки відносно точки А за напрямом прискорення а^_BA:

[с^-2].

Прискорення ε₃ має напрям проти годинникової стрілки.