3. Алгоритмы сортировки

Цель работы: отработка навыков построения вложенных циклов, изучение алгоритмов сортировки, освоение методов структурной разработки программ и тестирования.

1. Теоретические сведения

   1. Задача сортировки

Имеется массив целых чисел, расположенных в произвольном порядке. Необходимо расположить числа в этом массиве в порядке возрастания, т. е. любой элемент должен быть не меньше предыдущего.

Решение задачи довольно легко осуществляется в рекуррентной форме: находим наименьший элемент, располагаем его в первой позиции. Повторяем эту же процедуру для остальных элементов.

Задачу нахождения наименьшего элемента также легко решить в рекуррентной форме: берем первые два элемента, из них выбираем меньший, этот элемент по очереди сравниваем с остальными элементами.

Нужно преобразовать два описанных рекуррентных решения в цикл. Эти преобразования можно произвести, используя алгоритм построения цикла, рассмотренный в лабораторной работе 2.

2. Реализация простейшего алгоритма сортировки

Построим внешний цикл программы сортировки.

На каждом шагу цикла мы будет находить один наименьший элемент и располагать его на нужной позиции. Обозначим t номер шага. После каждого шага мы будем иметь t отсортированных (расположенных на своих местах) элементов. Это можно обозначить так: {a₀ > a₁ > … > a_{t – 1}, a_t … a_{n – 1}}. В этой записи используются фигурные скобки. Такими скобками обычно отмечают условия выполнения (инвариант, предусловие, постусловие) в тексте программы.

Предусловие этого цикла: t = 0. При этом нет ни одного отсортированного элемента.

Если отсортированы все элементы кроме одного, то последний элемент автоматически располагается на последней позиции. Тогда условие окончания этого цикла таково: t = n – 1, при этом все элементы будут отсортированы, иначе цикл будет продолжаться, пока не будет достигнуто, что t < n – 1.

В теле цикла необходимо увеличить t на единицу, при этом должен сохраниться инвариант – элементы от 0 до t’ – 1 должны находиться на нужных местах. Поскольку до этого на нужных местах были расположены элементы от 0 до t – 1 = t’ – 2, то достаточно найти наименьший элемент среди элементов от t’ – 1 до n – 1 и поменять его местами с элементом t’ – 1 или найти наименьший элемент от t до n – 1 и поменять его с элементом t. Использование старого значения t удобнее, поскольку не требует дополнительных вычитаний 1 и позволяет вычислить новое значение t в конце тела (записать вычисление t в шаг цикла оператора for). Построим цикл, который находит наименьший среди элементов от t до n – 1.

На каждом шаге этого цикла будет добавляться по одному элементу к множеству элементов, для которых известен минимальный из них. Другими словами, инвариантом системы будет условие о том, что известен наименьший элемент среди элементов от t до j – 1, где j – переменная цикла. Обозначим mi индекс этого наименьшего элемента, а m – его значение.

На первом этапе работы цикла множество будет состоять из одного элемента, который, поскольку он один, будет наименьшим элементом этого множества, т. е. j = t + 1, mi = t, m = a_t. Это предусловие цикла, его выполнения необходимо достичь при инициализации.

Очевидно, что условием выполнения внутреннего цикла будет j < n.

В теле цикла j должно увеличиться на единицу. Для того чтобы сохранился инвариант, достаточно проверить, меньше ли элемент переменной m, и если меньше, то изменить m и m – i.

Осталось уточнить, как поменять элементы в конце внешнего цикла. С этим предлагается разобраться самостоятельно по приведенному ниже коду.

void print_mas(int* m, int n)

{

int i;

for(i=0;i<n;i++)

printf("%i ", m[i]);

printf("\n");

}

int main()

{

int a[8]={1,2,4,3,8,7,5,6};

int j, t, m, mi, n=8;

print_mas(a, n);

for(t=0; t<n-1; t++)

{

// Найти наименьший элемент

m=a[t];

mi=t;

for(j=t; j<n; j++)

if(a[j]<m) { m=a[j]; mi=j; };

// Поместить наименьший элемент на первую позицию

a[mi]=a[t]; a[t]=m;

}

print_mas(a, 8);

}