Примеры решения задач к контрольной работе.
Задача 1. Найти указанные пределы:
a)
;
б)
Решение.
а)
Подстановка предельного значения x=
0 приводит к неопределенности
.
Выполним некоторые преобразования и воспользуемся первым замечательным пределом:
=
.
б)
При
основание степени
стремиться
к 1, а показатель степени 4x+1
стремиться к бесконечности. Следовательно,
имеет неопределенность вида
.
Представим основание в виде суммы
единицы и бесконечно малой величины:
,
тогда
.
Сделаем
замену:
.
При
переменная
.
Выразим показатель степени через новую
переменную. Так как
,
то 2x
+ 3= -
4n,
4x
=
-8n-
5.
Таким образом,
.
(Использован второй замечательный предел.)
Задача
2.
Найти
производную функции
,
пользуясь правилами и формулами дифференцирования.
Решение. Применив правила дифференцирования суммы, произведения, частного, а так же сложной функции и пользуясь формулами производных элементарных функций, имеем
Задача
3.
Исследовать
функцию
и построить её график по схеме, изложенной
в решении.
Решение. 1) Область определения
D(y)
=
.
2) Исследование на непрерывность и классификация точек разрыва.
Заданная функция непрерывна всюду, кроме точки x=4. Вычислим её односторонние пределы в этой точке:
,
.
Таким образом, точка x = 4 является для заданной функции точкой разрыва второго рода, а прямая x = 4 вертикальной асимптотой.
3) Исследование на экстремум и промежутки монотонности.
,
-
8x
– 20 = 0, критические точки:
x |
|
-2 |
|
4 |
|
10 |
|
|
+ |
0 |
_ |
не сущ. |
_ |
0 |
+ |
y |
|
-4 max |
|
не сущ. |
|
20 min |
|
;
.
4) Исследование графика на выпуклость, вогнутость, точки перегиба.
.
Так
как
,
то график заданной функции точек перегиба
не имеет. Найдём интервалы выпуклости
и вогнутости:
x |
|
4 |
|
|
_ |
не сущ. |
+ |
y |
|
не сущ. |
|
5) Исследование графика на наличие наклонных асимптот.
.
Таким образом, прямая y = x + 4 – наклонная асимптота графика.
6) Строим график на основе полученных результатов.
рис.1
Задача 4. Найти неопределённые интегралы:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
Решение.
а)
Пусть t
= arctg
x,
тогда dt
=
и
.
б) Применим формулу интегрирования по частям:
.
Пусть u = x, dv = sin(2x-1)dx, тогда du = dx,
;
в) Выделим в числителе производную знаменателя
и
преобразуем интеграл:
.
В
интеграле
сделаем замену: t
= x2
+10x
+29, тогда dt
= (2x+10)dx.
Поэтому
.
Задача 5. Найти объём тела, образованного вращением вокруг оси OX фигуры, ограниченной параболой y= 2x2, прямой y= -x+10 и осью OX (рис. 2).
Рис. 2
Решение.
Найдём
точку пересечения параболы с прямой в
первой четверти. Для этого решим систему
откуда x=
2. Прямая y=
-x+
10 пересекает ось в точке,
где
x=
10. Таким образом, тело ограничено при
поверхностью,
образованной вращением параболы y=
2x2
вокруг оси OX,
а при
-вращением
прямой y=
-x+10.
Найдём объём:
(куб.ед.)
Задача
6.
Найти частное решение уравнения
если y(0)=
4
Решение. Заменив производную дифференциалом, получим уравнение
Преобразуем
его к виду
Затем проинтегрируем обе части:
или
Откуда
-
общее решение дифференциального
уравнения. Подставим в него начальное
условие y(0)=
4:
,
откуда c=
40
Окончательно,
-
частное решение дифференциального
уравнения.
Задача 7. В вычислительной лаборатории имеются 6 персональных компьютеров фирмы Hewlett-Packard и 4- фирмы IBM. Вероятность того, что во время выполнения некоторого расчёта не произойдёт сбой в компьютере фирмы Hewlett-Packard равна 0,95, а в компьютере IBM- 0,8. Студент производит расчёт на наугад выбранном компьютере. Найти вероятность того, что до окончания расчёта компьютер не выйдет из строя.
Решение. Пусть событие A- компьютер до окончания работы не выйдет из строя. Возможны следующие гипотезы: H1-студент работал на компьютере фирмы Hewlett-Packard, H2- студент работал на компьютере фирмы IBM.
Искомую вероятность находим по формуле полной вероятности
Задача 8. Студент с вероятностью 0,1 является отличником. Составить закон распределения числа отличников в группе из 4 наугад выбранных студентов. Найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение от случайной величины.
Решение. Искомая случайная величина Ч может принимать значения 0, 1, 2, 3, 4. Соответствующие им вероятности найдем по формуле Бернулли
при
Закон распределения случайной величины Х имеет вид
Число отличников х1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
вероятность, p1 |
0,6561 |
0,2916 |
0,0486 |
0,0036 |
0,0001 |
При
биноминальном распределении математическое
ожидание находится по формуле
,
а дисперсия по формуле
Среднее квадратическое отклонение σ
