- •Контрольная работа
- •1 Первообразная и неопределенный интеграл
- •1. Интегрирование подстановкой
- •2. Интегрирование по частям
- •3. Интегрирование простейших дробей
- •Контрольные варианты к задаче 11.
- •2 Определенный интеграл и его геометрический смысл
- •Контрольные варианты к задаче 12.
- •Контрольные варианты к задаче 13.
- •Вычисление объема тела вращения
- •Контрольные варианты к задаче 14.
Контрольная работа
“ НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ И ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ”
1 Первообразная и неопределенный интеграл
При выполнении предыдущих контрольных работ мы столкнулись с тем, что ряд физических и геометрических задач сводится к нахождению производных от функций. Наряду с этим ряд задач сводится к обратной операции–отысканию функции по ее производной. Эта операция называется интегрированием, следовательно, интегрирование должно заключаться в следующем: задана производная –требуется найти функцию.
Определение. Функцию , заданную на промежутке , называют первообразной для функции , заданной на том же промежутке, если для всех выполняется равенство (или, что то же самое, равенство ). Например, для функции первообразной будет функция , т. к. для всех ; для функции первообразной будет функция , т.к. для всех ; для скорости точки первообразной будет путь , который прошла эта точка, т. к. , и так далее.
Так как первообразная имеет производную, следовательно, она непрерывна. Но верно и более глубокое утверждение: если функция непрерывна, то она имеет первообразную. В интегральном исчислении мы будем иметь дело только с непрерывными функциями.
Если функция является первообразной для функции на промежутке , то и любая из функций вида является первообразной для на том же промежутке. Это следует из того, что
.
Нетрудно убедиться в верности и обратного утверждения: если есть первообразная , то все первообразные для содержатся в формуле .
Определение. Совокупность всех первообразных для заданной функции на промежутке называется неопределенным интегралом этой функции и обозначается так: (читается: ”интеграл эф от икс дэ икс”);
-
называется подынтегральной функцией;
-
произведение – подынтегральным выражением;
-
знаком интеграла;
-
– переменной интегрирования.
Если есть первообразная для , то (C–произвольная константа). Например,
Из определения интеграла следует, что каждой формуле дифференциального исчисления соответствует формула в интегральном исчислении, так что в частности вся таблица производных может быть переписана в виде таблицы интегралов:
I. где ; II. ;
III. ; IV. ;
V. ; VI. ;
VII. ; VIII. ;
IX. ; X. ;
XI. ; XII. ;
XIII. ; XIV. ;
XV. XVI..
Займемся теперь основными свойствами неопределенных интегралов и правилами их вычисления.
Примем без доказательства свойства неопределенного интеграла:
1.
2.
3.
4. ;
5. (k–постоянная);
6. .
1. Интегрирование подстановкой
Замена переменной (подстановка) в интеграл производится по формуле
; (1.1)
при этом говорят, что в интеграле слева сделана замена переменной (подстановка) . Формулой (1.1) можно пользоваться следующим образом: подобрать функцию так, чтобы, подставив вместо подынтегральное выражение, получить более простой интеграл.
Пример 1. Найти
Решение. С целью упрощения подынтегрального выражения положим . Отсюда ; ; ;; ; . Заменив всюду под интегралом на , получим
При вычислении воспользовались формулой
Пример 2. Найти
Решение. Заметим, что Целесообразно ввести переменную . Тогда ; ; . Заменив всюду под интегралом на , на , получим
Пример 3. Найти
Решение. Заметим, что , т.к.
. Целесообразно ввести переменную . Заменив всюду под интегралом на , на , получим
Пример 4. Найти
Решение. Заметим, что , т.к. . Целесообразно ввести переменную . Тогда . Заменив всюду под интегралом на , на ; получим
.
На основании вышеизложенного можно ввести формулу
, (1.2)
где – первообразная функции.
Тогда
Из формулы (1.2) получим
1. .
2. .
3. .