2. Проверка гипотезы о виде распределения

Во многих случаях закон распределения изучаемой случайной величины неизвестен, но есть основания предположить, что он имеет вполне определенный вид (назовем его вид А). В таких случаях нулевая гипотеза Н₀ формулируется следующим образом: Н₀- генеральная совокупность распределена по закону А, под альтернативной гипотезой Н₁ будем понимать в данном случае то, что не выполнена основная.

Для проверки согласованности результатов наблюдений с высказанным предположением используют специально подобранную величину- критерий согласия.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Критерием согласия называют статистический критерий проверки гипотезы о предполагаемом законе неизвестного распределения.

Существуют различные критерии согласия: Пирсона (Хи-квадрат), Колмогорова, Фишера, Смирнова. Критерий согласия Пирсона- наиболее часто употребляемый критерий для проверки простой гипотезы о законе распределения.

Критерий согласия χ² (хи-квадрат) Пирсона.

Пусть дано n измерений. Важно установить, можно ли описать эти n значений с помощью принятой теоретической модели. В качестве теоретической модели может выступать любая уже известная модель (нормального распределения, равномерного распределения или распределения Пуассона).

Для проверки выдвигают нулевую гипотезу – Н₀: «между эмперическим распределением и теоретической моделью нет никакого различия».

Для проверки гипотезы Н₀ поступают следующим образом.

Разбивают всю область значений случайной величины Х на κ интервалов. и подсчитвают вероятности Р_і (і=1,2,...,к) попадания случайной величины Х (то есть наблюдения) в интервал , используя формулу Р(α≤Χ≤β)=F₀(β)-F₀(α). Тогда теоретическое число значений случайной величины Х попавших в интервал , можно рассчитать по формуле . Таким образом, имеем статистический ряд распределения случайной величины Х (1) и теоретический ряд распределения:

		…
		…

(2)

Если эмпирические частоты ( ) сильно отличаются от теоретических ( ) ,то проверяемую гипотезу Но следует отвергнуть; в противном случае-принять.

Критерием, характеризующим степень расхождения между эмпирическими и теоретическими частотами предложил К. Пирсон (1857-1936 г.г., английский математик, статик, биолог, философ) , О –фактически наблюдаемое число, Е – теоретически ожидаемое число или ,(3) где n-объем выборки, k-число интервалов разбиения выборки, -число значений выборки, попавших в і-й интервал (обычно это число не должно быть меньше 5), - теоретическая частота попадания значений в і-й интервал.

Для распределений признаков, которые принимают всего 2 значения в формулу расчета критерия соответствия Хи-квадрат вносится поправка Йейтса

Согласно теореме Пирсона, статистика (3) имеет распределения с m=k-r-1 степениями свободы, где r-число параметров предполагаемого распределения. Если распределение нормально, то оценивают два параметра ( а и ), поэтому число степеней свободы m=k-2-1.

Правило применения критерия

1. Н₀: «между эмперическим распределением и теоретической моделью нет никакого различия». Н₁: «между эмперическим распределением и теоретической моделью есть различие».

2. Выбираем уровень значимости α критерия.

3. По формуле или вычисляют -выборочное значение статистики критерия.

4. По таблице -распределения находим критическую точку

5. Если ≤ , то гипотеза Н₀ принимается; если > , то гипотеза Н₀ отвергается.

Неоходимым условием применения критерия Пирсона является наличие в каждом из интервалов не менее 5 наблюдений (то есть ≥5 ). Если в отдельных интервалах их меньше, то число интервалов надо уменьшить путем объединения (укрепления) соседних интервалов.

АНАЛИЗ КАЧЕСТВЕННЫХ ПРИЗНАКОВ.