5. Доведення третьої ознаки рівності трикутників

У порівнянні з вивченими уже теоремами, теорема 3.6. — ознака рівності трикутників за трьома сторонами — має складнішу схему доведення. Воно містить багато логічних етапів.

Суттєвою відмінністю є те, що для доведення використовується не пряме обґрунтування спів падання двох трикутників (як це робилось під час доведення І і ІІ ознак), а використовується метод „від супротивного”.

Для того, щоб дійти від зробленого припущення до протиріччя, із якого випливає, що припущення були неправильними, необхідно провести відповідні міркування. Під час доведення теореми особливо важливо, щоб учні розуміли, що протиріччя одержано саме в наслідок неправильного припущення, бо всі подальші кроки були обґрунтовані теоремами і аксіомами.

У результаті вивчення пункту учні повинні знати формулювання і доведення ознаки, вміти застосовувати її для розв’язування задач.

Повторити принцип використання методу „від супротивного” можна у ході виконання завдання, пов’язаного з одним моментом доведення теореми 3.6, а саме застосуванням теореми про єдиність прямої, перпендикулярної даній прямій і яка проходить через точку даної прямої.

Перед формулюванням третьої ознаки рівності трикутників доцільно учням запропонувати такі завдання:

1. Сформулюйте аксіому відкладання відрізків.

2. Сформулюйте аксіому існування трикутника, рівного даному.

3. У рівнобедреному трикутнику АВС вершину В сполучили з серединою основи АС — т.D. Як називається відрізок ВD? (медіана за побудовою, висота і бісектриса за властивістю рівнобедреного трикутника).

4. У двох рівнобедрених трикутниках АВС і ADC із спільною основою АС проведено медіани до основи ВО і ОD. Доведіть методом від супротивного, що точки В, О і D лежать на одній прямій.

5. Через три різні точки А, В, С проведено прямі: АС, ВС і АВ. За якої умови прямі будуть різними? (За умови, що т.С не належить прямій АВ).

Вивчення нового матеріалу.

Пропонуємо двом учням побудувати трикутники АВС і А₁В₁С₁ із сторонами 5, 6, 8 см.

Після побудови трикутників ставимо класу запитання:

1. Що можна сказати про сторони побудованих трикутників? (АВ=А₁В₁; АС=А₁С₁; ВС=В₁С₁)

2. Яке припущення можна висловити про трикутники.

Формулюється третя ознака рівності трикутників.

Перед її доведенням доцільно повторити І і ІІ ознак рівності трикутників.

Вчителю потрібно наголосити учням, що доводитись ця теорема буде методом від супротивного.

Дано: АВ=А₁В₁; АС=А₁С₁ і ВС=В₁С₁.

Довести: АВС = А₁В₁С₁.

Доведення:

Припустимо, що АВС ≠ А₁В₁С₁, тобто А ≠А₁, В ≠В₁, С ≠С₁.

1. Існує А1В1С2 = АВС	За аксіомою існування трикутника, рівного даному.
2. С2  А1С1; С2  В1С1	За аксіомою відкладання відрізка даної довжини.
3. А1С1С2 і В1С1С2 — рівнобедрені з спільною основою С1С2.	За означенням рівнобедреного трикутника (А1С1=А1С2 і В1С1=В1С2).
4. Проведемо медіани А1Д і В1Д до основи С1С2.
5. А1Д  С1С2 і В1Д  С1С2	За властивістю рівнобедреного трикутника.
6. Через точку Д до прямої С1С2 проведено дві перпендикулярні прямі	Це суперечить теоремі про єдиність перпендикуляра до даної прямої у даній на ній точці.
7. Припущення неправильне т.С1 збігається з т.С2.
8. А1В1С1 = АВС.	АВС = А1В1С2 – за аксіомою; А1В1С2 = А1В1С1 – за доведенням.

20