4. Друга ознака рівності трикутників

Теорема 3.2. виражає другу ознаку рівності трикутників (за стороною і двома прилеглими до неї кутами).

Всі зауваження, що подані до вивчення першої ознаки, відносяться і до вивчення другої.

У результаті вивчення цього пункту учні повинні знати формулювання і доведення другої ознаки рівності трикутників, уміти застосовувати її для розв’язування задач.

Під час доведення другої ознаки рівності трикутників використовуються ті ж аксіоми, що і під час доведення першої ознаки, тому повторення їх доцільно провести під час перевірки домашнього завдання.

Перед формулюванням теореми корисно нагадати учням основну ідею використання першої ознаки рівності трикутників, крім того добавити, що про рівність трикутників можна зробити висновок за рівністю трьох пар елементів, зокрема, якщо сторона і прилеглі до неї кути одного трикутника відповідно дорівнюють стороні та прилеглим до неї кутам другого трикутника.

Перше доведення теореми проводиться за тією ж схемою, що і доводилась перша ознака.

З метою активізації навчальної діяльності учнів на уроці, у процесі доведення теореми 3.2, доцільно проводити урок у формі евристичної бесіди.

Під час підготовки до уроку вивчення другої ознаки рівності трикутників вчителю потрібно:

1. Підготувати завдання для повторення теореми 1.1. (Якщо пряма, яка не проходить через жодну з вершин трикутника, перетинає одну з його сторін, то вона перетинає тільки одну з двох інших сторін цього трикутника).

2. Продумати систему питань і завдань для проведення евристичної бесіди.

3. Підготувати систему малюнків, на основі яких буде демонструватись хід доведення.

Схема доведення другої ознаки така ж, як і першої, тому вона добре відома школярам:

1.Стверджуємо існування трикутника A₁B₂C₂, рівного трикутнику АВС і розташованого певним чином на площині (аксіома IV₃).

2. Доводимо співпадання трикутників A₁B₂C₂ і A₁B₁C₁.

3. Робимо висновок: А₁В₁С₁ = АВС.

Цю схему учні записували в свої зошити при вивченні першої ознаки рівності трикутників. Тоді ж вчитель підкреслював, що по ній доводяться всі ознаки рівності трикутників. Істотно полегшує бесіду і той факт, що використані при доведеннях першої і другої ознак рівності трикутників твердження в основному співпадають.

Проводячи евристичну бесіду при доведенні такої досить складної теореми, краще поєднувати питання до учнів з аналізом, який передує деяким важчим ланкам доведення. Цей аналіз (краще за вчителя його, звичайно, ніхто не проведе) допоможе школярам уявити напрям синтетичного доведення. Хід доведення ілюструється послідовно демонстрованими мал.9.1-5. Після формулювання теореми школярі виконують креслення (мал. 9). При цьому в класі з'ясовується і записується, що дано і що потрібно довести. Потім вчитель формулює питання і завдання:

Мал. 9

За якою схемою ми доводимо ознаки рівності трикутників?

(Учні повторюють схему доведення; її можна записати заздалегідь на відкидній дошці.)

Який повинен бути перший крок доведення?

Відповідь. За аксіомою існування трикутника, який дорівнює даному, існує трикутник А₁В₂С₂, рівний трикутнику АВС, у якого вершина В₂ лежить на промені A₁B₁, а вершина С₂ лежить в тій же півплощині відносно прямій A₁B₁, що і вершина C₁ (мал. 9.2).

Що потрібно зробити далі, виходячи з схеми доведення?

Відповідь. Довести, що трикутник A₁B₂C₂ співпадає з трикутником A₁B₁C₁.

Що потрібно довести, щоб затверджувати: трикутники А₁В₂С₂ і A₁B₁C₁ співпадають?

Відповідь. Потрібно довести: точка В₂ співпадає з точкою B₁, а точка С₂ — з точкою C₁.

Доведіть, що точка В₂ співпадає з точкою B₁. (Це завдання не викликає труднощів у більшості учнів, оскільки аналогічна ситуація була вже розглянута при доведенні першої ознаки рівності трикутників.)

Далі вчитель здійснює аналіз за мал. 9.3. Він говорить: «Доведемо тепер співпадання точок С₂ і C₁. Для цього доведемо, що промінь В₂ С₂ співпадає з променем B₁ C₁, а промінь А₁ С₂ співпадає з променем А₁ C₁. Але промені B₁ C₁ і А₁ C₁ перетинаються в точці C₁, тому співпадаючі з ними промені повинні перетинатися в тій же точці, оскільки прямі, на яких лежать ці промені, не можуть перетинатися більш ніж в одній точці (теорема 1.1). От чому точка С₂ співпадатиме з точкою C₁». Потім вчитель знову звертається до класу:

Отже, доведіть, що промені А₁ С₂ і А₁ C₁ співпадають. (Завдання не складне, оскільки аналогічна ситуація вже розглядалася при доведенні першої ознаки рівності трикутників.)

Доведіть, що промені В₂ С₂ і B₁ C₁ співпадають. (Ситуація аналогічна до попередньої, учням демонструється мал.9.4.)

Доведіть, що точки C₁ і С₂ співпадають. (Використовуючи проведений вчителем аналіз, учні виконують і це завдання.)

Зробіть висновок (мал. 9.5).

Після цього доцільно попросити декількох учнів відтворити поетапно доведення теореми, користуючись відповідними малюнками.

Як видно з цього прикладу, подібну бесіду на початковому етапі навчання можна проводити лише в добре підготовленому класі.