3.2. Другий підхід до вивчення першої ознаки рівності трикутників

При доведенні теореми використовують:

А) Означення рівних трикутників, відрізків, кутів.

Б) Аксіоми про відкладання відрізків, кутів.

В) Аксіома про існування трикутника рівного даному.

Всі ці питання слід повторити перед вивченням першої ознаки рівності трикутників.(На домашнє завдання даються питання і вказуються сторінки підручника).

На уроці організовуємо актуалізацію знань за допомогою практичної роботи, яку учні виконують лінійкою з поділками і транспортиром.

1. З

   АВ=

   АС=

   A=

   образіть трикутник АВС, виміряйте його сторони і запишіть

В

А С

В ізьміть довільну точку Р і проведіть із неї промінь а b

F

P K a

2. Позначте буквами  і  півплощини на, які розбиває площину пряма а. Сформулюйте аксіому існування трикутника рівного даному АВС.

4. Відкладіть у верхній півплощині (а в) = А. Що можна сказати про положення променя с, який виходить з точки Р, якщо (а с) = А і відкладений у цій півплощині?(Поясніть відповідь) (За аксіомою відкладання кутів від даного променя а у заданій півплощині , можна відкласти тільки один кут заданої градусної міри).

5. На площині  відкладіть відрізок РК=АС, а на промені в відрізок PF=AB. Що можна сказати про положення точки М якщо відрізок РМ=АВ і точка М лежить на промені в. Поясніть відповідь (М збігається з F за аксіомою відкладання відрізків).

6. Сполучіть точки К і F. Виміряйте відрізки ВС і КF, В і F, К і С. Порівняйте їх.

7. Запишіть рівні між собою елементи трикутників АВС і PFK. У результаті виконання завдання на дошці і у зошиті з’являться мал. 1 і 2 і запис АВ=РК, АС=РF, ВС=КF, А = Р, В = F, С = К.

8. Який висновок можна зробити про трикутники АВС і РFK.

Виконання завдання підводить учнів до “відкриття” 1-ї ознаки рівності трикутників. Ми задали три пари рівних елементів трикутників АВС і РFК і одержали рівні трикутники.

Чи завжди виконується ця властивість?

Попробуємо довести наступну теорему.

Формулюється теорема, виконується малюнок і записується на дошці умова і вимоги. Малюнок бажано виконувати у кольорі.

Перша ознака рівності трикутників.

Дано: АВС і А₁В₁С₁; АВ = А₁В₁; АС = А₁С₁; А = А₁.

Довести: АВС = А₁В₁С₁

Перше доведення теореми проводиться без посилань на аксіоми. Вона дає уявлення про основну лінію доведення та його етапи.

Нехай дано трикутники АВС і А₁В₁С₁ у яких АВ = А₁В₁; АС = А₁С₁; А = А₁.

1) Розглянемо трикутник, рівний даному АВС і розміщений таким чином: одна його вершина співпадає з вершиною А₁, друга (В₂) лежить на промені А₁В₁, а третя (С₂) лежить у цій же півплощині відносно прямої А₁В₁, що й вершина С₁.

2) Оскільки В₂А₁С₂ =  В₁А₁С₁, то промені А₁С₂ і А₁С₁ співпадають, тобто точка С₂ може лежати тільки на промені А₁С₁.

3) Тому що А₁В₂ = А₁В₁ і А₁С₂ = А₁С₁, то точка В₂ співпадає з точкою В₁, а точка С₂ — з точкою С₁.

4) Оскільки АВС₁ = А₁В₂С₂, а А₁В₁С₁ і А₁В₂С₂ один і той же трикутник, то АВС = А₁В₁С_1.

План доведення теореми відображає його основні етапи. Він записується коротко, усно повторюються ті посилання, які проводились під час першого доведення на кожному етапі.

Використовуємо серію малюнків (діапозитивів, кодопозитивів), які демон­струються послідовно.

В А С АВС і А1В1С1 А = А1 АВ = А1В1 АС = А1В1 АВС = А1В1С1	В1 А1 С1 Поясніть ідею доведення а)
В А С	В1 В2 А1 С1 С2 Чи правильне положення С2 на промені А1С1? б)
В А С	В1 В2 А1 С1(С2) Як повинні бути розміщені промені А1В1 і А1В2? в)

В А С

В2 В1 А1 С1(С2) Що можна сказати про положення т.В2 на промені А1В1?

1. Ні точка С₂ повинна збігатися з точкою С₁ за аксіомою відкладання відрізків А₁С₂=А₁С₁ (А₁С₂=АС з рівності АВС і А₁В₂С₂, а А₁С₁=АС за умовою). Після відповіді демонструйте мал в.

2. Промені А₁В₁ і А₁В₂ збігаються за аксіомою відкладання кутів, оскільки В₂А₁С₂ = В₁А₁С₁ (В₂А₁С₂ = ВАС за рівністю трикутників АВС і А₁В₂С₂, а В₁А₁С₁ = ВАС за умовою)(демонструємо мал г).

3. (Доводиться що В₁ і В₂ збігаються) Таким чином А₁В₂С₂ співпадає з А₁В₁С₁. Але А₁В₂С₂ = А₁В₁С₁ також дорівнює АВС.

4. За допомогою яких трьох пар відповідно рівних елементів у трикутниках АВС і А₁В₁С₁ ми довели їх рівність?

Після цього формулюється перша ознака і підкреслюється ідея доведення:

1. Стверджуємо існування А₁В₂С₂, що дорівнює АВС і розміщений певним чином на площині.

2. Доводимо збіжність А₁В₂С₂ з А₁В₁С₁

3. Робимо висновок АВС = А₁В₁С₁.