18 Билет

рациональным называется число, представимое в виде отношения двух целых чисел, причём одно и то же рациональное число представимо в виде отношения различных целых чисел. (Например ).

Фундаментальную роль играют три правила:

Правило сравнения и правила образования суммы и произведения.

1. Любые два рациональных числа и связаны одним и только одним из трёх знаков, или , причём если то .

Правило сравнения двух рациональных чисел формулируется следующим образом: два неотрицательных рациональных числа и связаны знаком , т.е.

Правило образования суммы двух рациональных чисел и определяется по формуле

Правило образования произведения двух рациональных чисел и определяется по формуле .

Св-ва

1. Если и , то (свойство транзитивности знака ); если и , то (свойство транзитивности знака );

Правило сложения рациональных чисел обладает следующими четырьмя свойствами:

2. (свойство коммутативности или переместительное свойство);

3. (свойство ассоциативности или сочетательное свойство);

4. Существует рациональное число 0 такое, что для любого рационально числа ;

5. Для каждого рациональное числа существует противоположное ему рациональное число , такое что ;

Правило умножения рациональных чисел обладает следующими четырьмя свойствами:

6. (свойство коммутативности или переместительное свойство);

7. (свойство ассоциативности или сочетательное свойство);

8. Существует рациональное число 1 такое, что для любого рационального числа ;

9.Для каждого рационального числа , отличного от нуля, существует обратное ему рациональное число , такое, что ;

Правила сложения и умножения связаны следующим свойством:

10. свойство дистрибутивности или распределительное свойство);

Следующие два свойства связывают знак с операциями сложения и умножения:

11. Если , то . для любого рационального ;

12. Если то, т , для любого положительного рационального с;

13. Для любого рационального числа , можно число 1 повторить слагаемым столько раз, что полученная сумма будет больше .

2. Вещественные числа

Числа, представимые дробями, будем называть вещественными или действительными.

Вещественное число будем называть положительным, (соответственно отрицательным), если оно представимо в виде положительной (отрицательной) бесконечной десятичной дроби. В состав множества вещественных чисел входят все рациональные числа, т.к. любое рациональное число представимо в виде бесконечной десятичной дроби

Два вещественных числа (1) и (2) называются равными, если они имеют одинаковые знаки и если справедлива бесконечная цепочка равенств:

Рассмотрим теперь два неравных вещественных числа и . Установим правило, позволяющее заключить, каким из двух знаков или связаны эти два числа. Пусть сначала оба числа и неотрицательны, т.е.

Т.к. числа и не равны, то нарушается хотя бы одно из равенств цепочки (3). Обозначим через наименьший из номеров , для которых нарушается равенство. Т.е.

, но . Тогда будем считать, что , если , и , если . Итак, мы привели правило сравнения двух произвольных неотрицательных чисел.

Если одно из чисел и неотрицательно, а другое отрицательно, то будем считать, что неотрицательное число больше отрицательного.

Если оба числа и отрицательны, то мы будем считать, что , если и , если .

Заметим, что в применении к двум рациональным числам сформулированное выше правило сравнения вещественных чисел приводит к тому же результату, что и правило сравнения рациональных чисел, сформулированное в пункте 1 настоящего параграфа.

Отметим теперь, что установленное правило сравнения вещественных чисел обладает свойством транзитивности знаков и .

Свойство транзитивности знака заключается в том, что для любых трёх вещественных чисел и из равенств , следует, что . Справедливость этого утверждения непосредственно вытекает из определения равенства вещественных чисел и справедливости своства транзитивности знака для целых чисел.