3. Методы выявления основной тенденции в рядах динамики.

Одной из важнейших задач статистики является определение в рядах динамики общей тенденции развития явления (тренда)

В некоторых случаях тренд явно и отчетливо отражается уровнями динамического ряда (уровни на изучаемом периоде непрерывно растут или непрерывно снижаются).

Однако часто приходится встречаться с такими рядами динамики, в которых уровни ряда претерпевают самые различные изменения (то возрастают, то убывают), и общая тенденция развития неясна.

На развитие явления во времени оказывают влияние множество факторов. Одни из них оказывают практически постоянное воздействие и формируют в рядах динамики определенную тенденцию развития. Воздействие же других факторов может быть кратковременным или носить случайный характер.

Основной тенденцией развития (трендом) называется плавное и устойчивое изменение уровня явления во времени, свободное от случайных колебаний.

Для того чтобы устранить влияние случайных обстоятельств ряды динамики обрабатывают соответствующим образом.

Различают следующие способы обработки.

1. Простое укрупнение временных интервалов (например, месяцы объединяют в кварталы и т.п.) Метод не требует подробных пояснений.

2. Метод скользящих средних.

3. Метод аналитического выравнивания.

Суть последних двух методов рассмотрим на примере 8.

Пример 8.

По данным примера 1, необходимо определить основную тенденцию выпуска продукции «А» предприятием.

1) методом скользящей средней;

2) методом аналитического выравнивания.

Сглаживание ряда динамики методом скользящей средней производится в следующем порядке. Выбирают укрупненный интервал (например, три месяца). Границы интервалов устанавливают следующим образом: началом первого интервала служит первый уровень ряда динамики, началом второго интервала будет второй уровне ряда, началом третьего интервала – третий уровень и т.д.

В каждом интервале вычисляют среднюю величину входящих в него уровней, помещают ее против середины интервала, в результате чего получают ряд скользящих средних или сглаженный ряд. См. гр. 3 табл. 7.3.

Таблица 3.

Сглаживание ряда методом скользящей средней

Месяцы	Выпуск, тыс. шт.	Укрупненный интервал	Трехчленная скользящая средняя, тыс. шт. ( )
А	1	2	3
Январь Февраль Март Апрель Май	31 34 33 37 40	- Январь – март Февраль – апрель Март – май -	-

Полученный ряд скользящих средних отчетливо отражает основную тенденцию – систематическое увеличение выпуска продукции на предприятии. Недостатком приема скользящей средней является потеря (к-1) уровня (к- число уровней в укрупненном интервале).

Кроме того, ни метод простого укрупнения интервалов, ни метод скользящей средней не позволяют получить описание тренда ряда. Для этой цели используется метод аналитического выравнивания.

При сглаживании временного ряда этим методом фактические уровни ряда заменяются уровнями, которые вычисляются на основе определенной функции, выбранной в предположении, что она отражает тренд изучаемого явления. В аналитическом выражении тренда время рассматривается как независимая переменная, а уровни ряда выступают как функция этой независимой переменной .

Выбор вида функции, описывающей тренд, зависит от цели исследования и должен быть основан на теоретическом анализе, выявляющем характер развития явления, а также на графическом изображении ряда динамики (линейной диаграмме).

В курсе «Экономико – математические методы и модели» будете проводить анализ временных рядов с помощью инструмента ЕXCEL Мастер диаграмм.

В зависимости от исходных данных и результата анализа ряда в качестве теоретических могут быть выбраны различные типы кривых или прямая линия. Так, согласно рекомендациям Ф. Ниллса, если для ряда характерны постоянные цепные абсолютные приросты, выравнивание производится по прямой , если постоянны цепные темпы роста выравнивание производится по показательной кривой

.

В тех же случаях , когда цепные абсолютные приросты более или менее равномерно увеличиваются ( или уменьшаются) или постоянны вторые разности в качестве тренда можно принять параболу второго порядка

.

В тех же случаях , когда требуется особо точное изучение тенденции развития (например, если предполагается использование модели тренда , для прогнозирования) при выборе функции используются специальные критерии математической статистики.

Побор вида функции описывающей тренд можно производить путем построения ряда функций и сравнения их между собой по величине стандартизированной ошибки аппроксимации

, где

- расчетные значения уровня временного ряда ;

- фактический уровень временного ряда

- число уровней временного ряда.

За наиболее адекватную принимается функция, у которой минимальна.

После выбора вида функции вычисляют ее параметры. Расчет параметров производится методом наименьших квадратов. Это означает, что из множества функций данного вида находят ту, которая обладает следующими свойствами:

1.

2. , где

- фактические уровни;

- выровненные (теоретические ) уровни.

Рассмотрим «технику» выравнивания ряда по прямой:

.

Параметры и искомой прямой методом наименьших квадратов находят решением следующей системы нормальных уравнений:

Для упрощения расчетов даты времени обозначаются натуральными числами следующим образом.

Если количество уровней нечетное

Период	январь	февраль	март	апрель	май
Обозначение	-2	-1	0	+1	+2

Если же количество уровней - четное то

Временная дата	январь	февраль	март	апрель	май
Обозначение	-5	-3	-1	+3	+5

При таких обозначениях , система принимает вид

и параметры определяются по формулам:

.

(Продолжение примера 8)

Для описания тренда используем в нашем примере простейший случай – прямую линию

.

Таблица 4.

Расчет параметров тренда выпуска продукции «А» по методу прямой линии

Месяцы
А	1	2	3	4	5	6
Январь Февраль Март Апрель Май	-2 -1 0 1 2	31 34 33 37 40	-62 -34 0 37 80	4 1 0 1 4	35+(2,1)2)=30,8 35+2,1(-1)=32,9 35 37,1 39,2	0,04 1,21 4,00 0,01 0,64
Итого	0	175	21	10	175,0	5,9

Тренд примет вид

Придавая конкретные значения, получим выравненные значения выпуска продукции (см. гр.5. Табл.7.3.) . Сделаем проверку .

При этом означает, что от месяца к месяцу выпуск продукции, в среднем возрастал на 2,1 тыс. шт. Это полученный теоретический ряд динамики отражает выравненную , устойчивую, неуклонно возрастающую от месяца к месяцу тенденцию.