6 Системный анализ стохастических систем

6.1 Общая характеристика стохастических систем

Вероятностные системы характеризуются множеством состояний и известными их вероятностями. Проблема: найти методы, позволяющие определить вероятности состояний.

Потоки событий - последовательность однородных событий, появляющихся одно за другим в случайные моменты времени.

Поток характеризуется параметрами:

 - интенсивность событий - ,

Т_ср – среднее время между событиями -

Поток событий называется простейшим, если он ординарен, стационарен, без последействия.

6.2 Уравнения Колмогорова

Имея в своём распоряжении размеченный граф состояний системы, можно построить математическую модель функционирования системы. Пусть система имеет четыре состояния (рисунок 6.2) и параметры  и . Необходимо определить вероятности состояний в установившемся режиме p₁, p₂, p₃, p₄.

₁₂ S₁ ₁₃

₂₁

S₂ ₂₃ S₃

₂₄ S₄ ₃₄ Рисунок 6.2 - Размеченный граф состояний

Вывод уравнений нет необходимости применять на практике каждый раз при решении конкретной задачи. Достаточно запомнить правило, по которому сразу можно записать конечные алгебраические уравнения для каждого состояния системы:

а) в левой части уравнения записать вероятность рассматриваемого состояния, умноженная на сумму интенсивностей всех потоков, выводящих систему из данного состояния,

б) в правой части уравнения записать сумму произведений вероятностей событий, из которых идут стрелки в данное состояние, на интенсивность соответствующих переходов. В результате получим систему уравнений:

S₁ : p₁ ( ₁₃ + ₁₂ ) = p₂ ₂₁ ,

S₂ : p₂ ( ₂₃ + ₂₄ + ₂₁) = p₁ ₁₂ ,

аналогично для S_3, S₄ , а также

p₁+ p₂+ p₃+ p₄ = 1.

В полученной системе уравнений пять уравнений с четырьмя неизвестными переменными p₁, p₂, p₃, p₄. Для решения такой системы одно из первых четырёх уравнений надо исключить из системы.

Решить задачи 2.1 и 2.2 из [2].

6.3 Анализ систем массового обслуживания (смо)

На практике часто приходится иметь дело с системами, предназна­ченными для обслуживания поступающих в случайные моменты времени зая­вок. Примеры таких систем: банки, телефонные станции, вычислительные комплексы, справочные бюро, парикмахерские и т.д. Обслуживание заявок продолжается некоторое время Т_обс, после чего средство обслуживания (канал) освобождается и готов принять новую заявку. Поступающие заявки при занятости всех каналов могут накапливаться в очереди. Обобщенная струк­турная схема таких систем приведена на рисунке 6.3.

Канал 2

Рисунок 6.3 – Структурная схема СМО

Случайный характер потока заявок и потоке их обслуживания приво­дит к тому, что в какие-то промежутки времени на входе СМО (в очереди) будет скапливаться большое количество заявок, в другие периоды - каналы обслуживания будут простаивать (S_о - состояние системы, когда все ка­налы свободны). Это приводит к снижению эффективности системы (увели­чивается время нахождения заявки в системе, простой канала, увеличение стоимости системы). Исследование эффективности СМО проводится на осно­ве аппарата теории массового обслуживания, возникновение которой было вызвано потребностями организации связи, затем применялась при анализе ситуаций в физике, военном деле, бытовом обслуживании населения, организации ремонтных работ, банковском деле, складах.

К основным параметрам СМО относятся:

 - интенсивность потока заявок (среднее число заявок в единицу времени),

 - интенсивность потока обслуживания (число обслуживаемых заявок одним каналом в единицу времени),

n - число каналов обслуживания,

m - максимальное число заявок в очереди.

Анализ эффективности СМО (n, m) заключается в определении связи между ее параметрами и основными характеристиками.

К основным характеристикам эффективности СМО следует отнести:

А - абсолютная пропускная способность (среднее число заявок, обслуженных системой в единицу времени),

q - относительная пропускная способность (средняя доля при­шедших заявок, обслуженных системой в единицу времени),

Р_отк - вероятность отказа (случая, когда заявка покинет СМО необ­служенной),

- среднее число занятых каналов.

Среди конкретных задач анализа СМО можно выделить [11]:

1. определить характеристики системы массового обслуживания, обеспечивающие заданную эффективность,

2. определить взаимосвязь входного и выходного потоков заявок,

3. определить среднее время ожидания обслуживания при известных параметрах,

4. определить среднюю длину очереди и меры по её изменению,

5. определить экономические потери системы при известных параметрах.