3 Задачи частично структурированных моделей

Задача 3.1. Анализ системы управления заказами. Известно, что годовая потребность закупаемых приборов составляет Q_г=1300 штук. Цена одного прибора С_п=6500 рублей, стоимость хранения приборов равна С_хр=200 руб/шт, стоимость самого заказа равна А=5000 рублей. Необходимо определить оптимальную величину заказа q*.

Решение. Величина общих затрат на год зависит от затрат на заказ и затрат на хранение полученных приборов: С_о=АQ_г/q + ½ С_хрq. Минимальные затраты будут при С_о'(q)=0, следовательно,

q*= 2Q_гА / С_хр =  2·1300·5000 / 200 = 100 (приборов).

Поэтому в год надо будет сделать 1300 / 255 =5 заказов, при этом С_о=5000·1300 / 255 + ½ 200·255 =50990 рублей.

Задача 3.2. Фирма приобретает заготовки из стали по цене 40 рублей за штуку. Годовая потребность заготовок составляет 6400 штук. Руководство рассчитывает на 16% прибыли от вложений в запасы. Дополнительные расходы на хранение одной заготовки составляют 1,6 рубля, а на оформление самого заказа расходуется 100 рублей. Определить:

• оптимальный размер заказываемой партии (q*),

• общую стоимость заказов (С_о),

• число заказов в год для обеспечения производственного процесса (N_з).

Обозначения: Q_г=6400шт, r =16%, С_доп=1,6 руб, C_п = 40 руб, А=100 руб.

Задача 3.3. На фирме по продаже холодильников необходимо определить оптимальные параметры заказа. Известно, что цена одного холодильника C_п=1400 рублей, ожидаемый объём продажи Q_г=600 штук в год, дополнительные расходы на хранение одного холодильника составляют 5% от цены холодильника, расходы на оформление заказа составляют 50 рублей. Руководство фирмы планирует иметь доход на уровне 30% от продажи холодильников.

Задача 3.4. Принять решение при выполнении задания, сформулированного в виде нечёткого продукционного правила: «Если цена закрытия торгов ценных бумаг высокая, то закупить облигации федерального займа». При этом считать, что предпосылки, заключения и данные наблюдений (цена довольно высокая) за рынком заданы отношениями вида:

• высокая = 0,1/r₁+0,3/r₂+0,7/r₃+ 0,8/r₄+ 0,9/r₅+ 1,0/r₆+ 1,0/r₇+ 1,0/r₈+ 1,0/r₉ ,

• закупить = 0,1/c₁ + 0,2/c₂ + 0,3/c₃ + 0,5/c₄ + 0,8/c₅ + 1,0/c₆ + 1,0/c₇ ,

• довольно высокая = 0,5/r₂ + 1,0/r₃ + 0,8/r₄ + 0,2/ r₅ ,

где c_i - цены, r_i - количество облигаций, i=1, 2, ..., 9.

Задача 3.5. Менеджер полагает, что такие показатели (y_i) динамики экономики региона как изменения национального дохода, объёма инвестиций и числа выпускаемых специалистов в основном определяется двумя факторами - вариациями доходов и расходов населения (x_i). Ему необходимо выделить доминирующий из них. Представительных статистических данных нет, но обработка решений экспертов позволила менеджеру получить матрицу (R) причинных нечётких отношений x_i  y_i :

Используя в качестве композиции нечётких выводов композицию максимум-минимум, найти наиболее достоверную причину изменений в экономике.

Задача 3.6. Менеджеру необходимо выбрать один из пяти проектов П_i. Каждый проект характеризуется двумя параметрами: производительностью А и рентабельностью Р.

Производительность проектов оценивается нечётким множеством

А={0,5/П₁; 0,7/П₂; 0,8/П₃; 0,6/П₄; 0,9/П₅}.

Рентабельность проектов оценивается нечётким множеством

Р={0,7/П₁; 0,9/П₂; 0,5/П₃; 0,5/П₄; 0,8/П₅}.

Необходимо записать эффективное в смысле производительности и экономичности подмножество С и найти оптимальный проект.

Задача 3.7. Расчёт часовой производительности грузовика с помощью статистического моделирования (метод Монте-Карло). Грузовик перевозит грузы разного веса G и затрачивает на перевозки разное время T. На основе наблюдений за неделю составлена таблица случайных величин G и T (таблица 3.1). Определить среднюю часовую производительность грузовика.

Таблица 3.1 – Результаты работы грузовика за неделю

Длительность перевозки T, мин	Число случаев		Величина груза G, т	Число случаев
25 –34	2		4,5 – 5,4	5
35 –44	4		5,5 – 6,4	16
45 – 54	10		6,5 – 7,4	30
55 –64	24		7,5 – 8,4	25
65 – 74	22		8,5 – 9,4	22
75 – 84	13		9,5 –10,4	2
85 – 94	12
95 –104	8
105 – 114	5
Всего	100		Всего	100

Поскольку между характеристиками нет никакой связи, задачу определения средней часовой производительности грузовика можно решить разными способами:

1) рассчитать из экспериментальных распределений средний груз и среднее время перевозок, сравнить их между собой (выполнить самостоятельно);

2) моделирование процесса перевозок путём анализа множества комбинаций случайных переменных G и T, учитывая частотность их появления. Для каждой моделируемой комбинации необходимо рассчитать частное D_i =G_i / T_i , затем на основе полученного распределения случайной величины D_i рассчитать среднее значение D .

При втором способе необходимо преобразовать таблицу наблюдений (таблица 3.1) в таблицу функции накопленных частот для переменных G_i и T_i (таблица 3.2), затем построить графики этих функций.

Таблица 3.2 – Значения накопленных частот

Нижняя граница перевозимого груза, т	Общее число случаев меньше границы	Нижняя граница продолжительности перевозки, мин	Общее число случаев меньше границы
4,5	0	25	0
5,5	5	35	2
6,5	21	45	6
7,5	51	55	16
8,5	76	65	40
9,5	98	75	62
10,5	100	85	75
		95	87
		105	95
		116	100

Используя генератор случайных чисел (табличный или подпрограммы типа RAND, RANDU, RANDOM), можно сгенерировать пары значений G_i и T_i , соответствующие экспериментальным распределениям. По этим парам необходимо рассчитать распределение искомой величины D= 60(G_i / T_i) и её статистические характеристики (таблица 3.3).

Для повышения точности оценки случайной величины D необходимо увеличить длину эксперимента, тогда и распределение её значений должно приблизиться к нормальному закону.

Таблица 3.3 – Расчёт значений методом Монте-Карло

Номер опыта	Случайное число N1	Значение Ti , мин	Случайное число N2	Значение Gi , т	Значение Di , т\час
1	0,1	50	0,48	90	10,80
2	0,22	58	0,36	85	8,79
3	0,24	54	0,13	67	7,44
4	0,42	66	0,06	70	6,36
5	0,37	64	0,57	93	8,71
6	0,77	87	0,92	106	7,31
7	0,99	113	0,56	93	4,57
8	0,96	112	0,3	82	4,39
9	0,89	102	0,57	93	5,47
…(n)
Среднее значение Dср= å Di /n					7,1
Среднеквадратическое отклонение  = å (Di – Dср)2/n					2,01

Задача 3.8. Рабочий-станочник вытачивает детали одного типа, при этом затрачивает разное время T_i на изготовление разного их количества N_i (экспериментальные данные в таблице 3.4). Найти среднюю производительность рабочего при обработке деталей.

Таблица 3.4 – Экспериментальные данные

Количество деталей, N	Число случаев		Время работы T, мин	Число случаев
11 –20	4		15 - 24	6
21 - 30	12		25 - 34	9
31 - 40	28		35 - 44	15
41 - 50	30		45 - 54	26
51 - 60	20		55 - 64	35
61 - 70	6		65 - 74	8
			75 - 84	1
Всего	100			100

Задача 3.9. Магазин может купить товар поштучно по цене в 10$, продать по 15$. Спрос колеблется от 0 до 5 штук. Возможны 6 рыночных ситуаций и менеджер имеет 6 вариантов действий. По опыту известно, что в конце сезона нераспроданный товар можно продать по 5$. Необходимо провести анализ эффективности вариантов действий менеджера.

Решение.

1. Построим платежную матрицу:

Объем спроса (ситуации)	Варианты действий менеджера (количество закупаемого товара)						Сальдо, $
	0	1	2	3	4	5
0	0	– 5	– 10	– 15	– 20	– 25	– 75
1	0	5	0	– 5	– 10	– 15	– 25
2	0	5	10	5	0	– 5	15
3	0	5	10	15	10	5	45
4	0	5	10	15	20	15	65
5	0	5	10	15	20	25	75
Сальдо, $	0	20	30	30	20	0