• Вероятность отказа;

• Относительную и абсолютную пропускную способности,

• Среднее число занятых колонок.

m=3

λ

Д К1 μ СМО {2,3}

К2 μ

отказ λ λ λ λ λ

So S1 S2 S3 S4 S5

μ 2μ 2μ 2μ 2μ

Рисунок 2.5 - Граф функционирования системы

Решение. Имеем: n= 2, m= 3, λ= 2, μ= 1/ t_об = ½=0,5 , ν= λ / μ=4 .

Вероятность исходного состояния S_о:

р₀ = [1+  + ² / 2! +...+ (ⁿ / n! ){(/n) - (/n)^m+1}(1- /n] ^–1 =

= [1+ 4 + 4² / 2! + (4² / 2! ){(4/2) - (4/2)⁴}(1- 4/2] ^–1 = 0,008 .

Вероятность отказа р_отк= р_n+m= р₅ = [^n+m / n^m n! ] p₀ = [4⁵/2³ ·2!] 0,008 = 0,51.

Относительная пропускная способность системы Q = 1– р_отк = 0,49.

Абсолютная пропускная способность А= λ Q = 0,98 (машины в мин.).

Среднее число занятых каналов (колонок): К_ср= A/μ = 0,98/0,5 =1,96 (т.е. обе колонки практически все время заняты).

Задача 2.11. Планируется открыть предприятие по мойке автомашин. На основании статистики в данном районе на мойку приезжает 9 машин в час, среднее время обслуживания одной машины - 5 минут. Необходимо определить ха­рактеристики СМО, выбрав для начального анализа самую простую систему.

Решение.

1) предположим, что система одноканальная с неограниченной очередью СМО (1, ) и параметрами:

2) коэффициент использования СМО - система используется на 75%; остальные характеристики рассчитываются по формулам из [1]:

3) среднее число автомашин на мойке

4) среднее число автомашин в очереди

5) среднее время, проведенное в очереди

6) удельный вес простоя , т.е. мойка будет простаивать 25% времени.

7) вероятность того, что в СМО находятся 0, 1, 2, 3, ...n автомашин (закономерность входного потока) определяется по формуле:

P(n>n’)=(1- λ / μ) (λ / μ)ⁿ,

тогда P(0)=(1-0,75)·1= 0,25

P(1)=(1-0,75)(0,75)¹ = 0,19

P(2)=0,25·0,75² = 0,14 и т.д.

Задача 2.12. Планируется открыть магазин для обслуживания (на основании ста­тистики) 56 человек в час; зная, что один продавец в среднем обслуживает 16 человек в час, предложено нанять двух продавцов. Необходимо провести анализ создаваемой СМО и добиться, чтобы в очереди было не более двух покупателей.

Решение.

1. СМО с двумя продавцами перегружена заявками, так как =/2=56/216=1,751. Вывод: очередь может расти неограниченно.

2. Для четырёх продавцов =/4=56/416=0,8751.

Следовательно, очередь иногда может быть.

3. При m=2 получим СМО(2, 2), для которой

Вывод. Поскольку один продавец обслуживает 16 чел/час, надо иметь . Следовательно, надо иметь пять продавцов.

Задача 2.13. На железнодорожную сортировочную станцию поступает простейший по­ток составов с интенсивностью λ =2 (состава в час). Обслуживание (рас­формирование) состава длится случайное время со средним значением Т_обс=20 мин. На станции имеются два пути для ожидания пребывающих сос­тавов; при их занятости составы ждут где-то за станцией. Требуется найти:

- среднее число составов на станции (N_с),

- среднее число составов, ожидающих обслуживания на внутренних и внешних путях (N_ож),

- среднее время пребывания составов на очереди (Т_ож),

- среднее время пребывания состава на станции (Т_с) на обслужива­нии, ожидании за станцией,

- среднее число составов на внешних путях и среднее время этого ожидания ,

- суточный штраф, который придется заплатить станции за простой составов вне станции, если за час простоя станция пла­тит штраф =8 рублей.

Задача 2.14*. На фирме по расфасовке молока работают две поточные линии, каждая из которых может в случайный момент времени отказать, после чего мгно­венно начинается ремонт, тоже продолжающийся заранее неизвестное, слу­чайное время.

1. Провести анализ СМО при λ₁=1, λ₂=2, μ₁=2 μ₂=3 (соответственно для первой и второй линий).

2. Определить эффективность Е системы и загрузку ремонтных органов R, если линии дают доход Д₁=3 и Д₂=5 ( условных единиц в час), а их ремонт стоит R₁= 0,1 и R₂=0,15 соответственно.

3. Определить экономическую целесообразность усиления ремонтных бригад вдвое (по стоимости ремонта), если интенсивность восстановле­ния линий тоже увеличится вдвое.

4. Определить граничные условия, при которых уменьшение среднего времени ремонта линий (при повышении расходов на ремонт) выгодно, т.е. дополнительные расходы будут меньше увеличения дохода.

Задача 2.15. Касса по продаже билетов в пункты А и В имеет два окошка, к кото­рым образуется одна очередь; при освобождении одного окошка ближайший в очереди пассажир обращается к нему. Интенсивность потока заявок в пункты А и В одинакова: λ_A=λ_B=0,45 (пассажира в минуту). Кассир тратит на обслуживание пассажира в среднем две минуты. Однако пассажиры жалуются на медлительность обслуживания, наличие большой очереди. Провести ана­лиз системы и дать предложения по увеличению ее эффективности.

Задача 2.16. Поступило предложение создать кассу по продаже билетов в пункты А и В, создав два специализированных окошка (по одному в каждый пункт). Провести анализ СМО, если λ_A=λ_B =0,45 и кассир обслуживает пассажира за две минуты. Сравнить характеристики СМО с характеристиками, полученны­ми в задаче 2.15 и объяснить наличие расхождений.

Задача 2.17*. На вычислительную машину поступают пакеты с задачами для решения. ЭВМ может работать в каждый момент времени только с задачами данного пакета, емкость которого М единиц. На входе стоит буферная память ем­костью 2М. При занятом буфере пакет покидает систему необслуженным. Составить модель такой системы и определить формулы для ее характерис­тик: р_отк, А, N_ож, Т_ож, N_с.

Задача 2.18. На бирже ценных бумаг проводится обработка текущей информации, поступающей пакетами по 200 килобайт. Определить необходимый объем бу­ферной памяти ЭВМ, принимающей для обработки сообщения, если интенсив­ность поступления 0,4 1/с. , если средняя длительность обработки одного сообщения равна одной секунде. Допустимая вероятность неприема сообще­ния на обслуживание равна 0,002.

Задача 2.19*. В период ажиотажа на бирже (задача 2.18) увеличилась емкость обрабатываемого пакета до 1 Мбайта, что привело к увеличению времени его обработки до 9 секунд. Как надо изменить параметры системы, чтобы оставить вероятность отказа в обслуживании на том же уровне.

Задача 2.20*. В отделе маркетинга фирмы работает 2 человека. В среднем за рабо­чий день в отдел обращаются 5 заказчиков; среднее время обслуживания составляет 2 часа. Критерий качества работы отдела - безотказность обслуживания клиентов. Какое качество имеет эта система? Как улучшить ее характеристики?

Задача 2.21. Оценить эффективность системы обработки данных (СОД) на ЭВМ, имеющей три элемента (рисунок 2.6).

¯ E₁=0,3 ­ E₅=0,1 Обозначения: А - центральный процессор ,

В C В – устройство ввода информации,

С – устройство вывода информации.

E₂=0,2 E₄=0,1

A

E₃=0,3 Рисунок 2.6 – Схема соединений СОД

На рассматриваемом интервале времени Т_р элементы имеют показатели надёжности: вероятность безотказной работы соответственно P_A=0,9 P_B=0,8 P_C=0,7 . Эффективность системы Е складывается из эффективности линий ввода и вывода информации, а также эффективности её обработки в элементах системы.

Решение. Реальная эффективность системы определяется по формуле Е= Σ P_i ×E(W_i), где P_i - вероятность нахождения системы в состоянии W_i , E(W_i) – эффективность системы в этом состоянии. Рассмотрим случай, когда возможен отказ любого одного элемента системы. Вероятность отказа определяется по формуле Q_A=(1- P_A). В таблице 2.1 приведены возможные состояния системы, а также расчёт соответствующие им вероятности состояний и эффективности системы.

Таблица 2.1 – Расчёт эффективности СОД

Состояние Wi	Вероятность Рi	Эффективность Е(Wi)
1. ABC	P1= PA PB PC= 0,5	E(W1)= E1+E2+E3+E4+E5 = 1
2. ABùC	P2= PA PB (1-PC)= 0,2	E(W2)= E1+E2+E3+E4= 0,9
3. AùBC	P3= PA(1-PB) PC= 0,1	E(W3)= E3+E4+E5= 0,5
4. AùBùC	P4= PA (1-PB)(1-PC)= 0,05	E(W4)= E3+E4= 0,4
5. ùABC	P5= (1-PA)PB PC= 0,06	E(W5)= E1+E2+E5= 0,6
6. ùABùC	P6= (1-PA)PB (1-PC)= 0,02	E(W6)= E1+E2= 0,5
7. ùAùBC	P7= (1-PA)(1-PB)PC= 0,01	E(W7)= E5= 0,1
8. ùAùBùC	P8=(1-PA)(1-PB)(1-PC)= 0,006	E(W8)= 0

В окончательном виде E= ΣP_i×E(W_i) =0,51+0,20,9+...+0,0060 = 0,79.

Задача 2.22. Система передачи информации состоит из двух последовательно соединённых блоков, имеющих показатели эффективности 0,6 и 0,4. Определить общую надёжность системы и показать, как можно повысить эту характеристику.