2 Задачи на основе вероятностных моделей

Задача 2.1. Составить уравнения Колмогорова для графа, имеющего три состояния и циклический переход из состояния S1 в состояния S2 – S3 – S1. Интенсивность переходов между состояниями одинакова. Определить вероятность состояний.

Задача 2.2. Составить уравнения Колмогорова для графа, имеющего четыре состояния и циклический переход из состояния S1 в состояния S2 – S3 – S4 – S1. Интенсивность переходов между очередными состояниями увеличивается в два раза. Определить вероятности состояний.

Задача 2.3. Определить среднюю производительность вычислительной системы из трех ЭВМ, если при отказе одной производительность снижается на 50%, отказе двух - на 90%. При трех работающих ЭВМ производительность равна П_о. Среднее время безотказной работы одной ЭВМ равна 6 часов, среднее время ремонта - 3 часа (работает одна ремонтная бригада).

Решение. Система может находиться в четырёх состояниях: S0 - исправна, S1 – одна ЭВМ неисправна, S2 - две ЭВМ неисправны, S3 - три ЭВМ неисправны. Интенсивность отказов одной ЭВМ  = 1\6 , интенсивность восстановления =1\3 . Средняя производительность ВС определяется как сумма производительности ВС в разных состояниях с учётом вероятности этих состояний: П_ср=П_ор₀+0,5П_ор₁+0,1П_ор₂+0 р₃.

Граф состояний системы показан на рисунке 2.1.

3 λ 2λ λ

S0 S1 S2 S3

μ μ μ

Рисунок 2.1 - Граф функционирования системы

Для вычисления вероятности состояний ВС составим уравнения Колмогорова (принимаем =/):

-3р₀ + р₁ =0, р₁ = 3 р₀ =1,5 р₀

-(2+) р₁ +3р₀ +р₂ =0, р₂ = 1,5 р₀

р₂ -р₃ =0, р₃ = 0,75 р₀,

р₀+р₁+р₂+р₃ =1. р₀+1,5р₀+1,5р₀+0,75р₀=4,75р₀=1,

откуда р₀=0,21 р₁=0,32 р₂=0,32 р₃=0,15.

Следовательно, П_ср= П_о0,21 + 0,5П_о 0,32+0,1П_о0,32 + 0П_о0,15= 0,40П_о .

Задача 2.4. Как изменится средняя производительность вычислительной системы, заданной в задаче 2.3, если для ремонта привлечь две или три автономные ремонтные бригады?

Задача 2.5. Вычислительная система (ВС) может находиться в одном из состояний: S0 - исправна, S1 - неисправна, основной процесс остановлен, ведется поиск неисправности, S2 - неисправность локализована, ведется ремонт, S3 - ремонт закончен, идет подготовка к пуску основного процесса. Среднее время безотказной работы ВС равно 12 часам, поиск отказа в среднем занимает 0,2 часа, ремонт – 6 часов, а подготовка к работе после ремонта – 1 час. Для оценки экономической эффективности системы необходимо рассчитать вероятности нахождения ВС в каждом из возможных состояний.

Задача 2.6. Задача резервирования. Тpебуется оценить экономическую целесообpазность пpиобpетения еще одного pезеpвного пеpсонального компьютеpа для двухмашинного комплекса упpавления организацией. Дополнительная машина вводится в pаботу только в том случае, если отказывает одна из двух основных машин.

Согласно статистике применяемые компьютеpы имеют тpи отказа в месяц и сpеднее вpемя восстановления pавно 2/3 месяца. Известны также следующие количественные показатели:

1. Отдача от одного пеpсонального компьютеpа А_о=….. в год.

2. Затpаты на покупку одной машины С_п =……. руб.

3. Текущие затpаты (pемонт, обслуживание ...) С_о= …. руб. в месяц.

4. Коэффициент отдачи вложений (нормативный) Е_нвт=0,15.

Решение. Рассмотpим два ваpианта системы (А и Б):

А. Система без ввода дополнительной машины

1. Пpоведем анализ состояний данной системы и постpоим гpаф функционирования системы.

2λ λ

S1 S2 S3

μ 2μ S₁ - все машины pаботают;

S₂ - одна машина pаботает,

S₃ - обе машины не pаботают.

Рисунок 2.2 - Граф функционирования системы (вариант А)

По условию =3 1/месяц и =1,5 1/месяц. Тогда =/=3/1,5=2.

2. Найдем веpоятности состояния системы без ввода дополнительного пеpсонального компьютеpа. Для pасчета веpоятностей составим систему уpавнений финальных веpоятностей:

-2р₁ + р₂ =0, р₂= 2р₁,

р₂ - 2р₃ =0, р₃= 4р₁,

р₁+р₂+р₃ =1. р₁+4р₁+4р₁=9р₁=1, откуда р₁=0,11 р₂=0,44 р₃=0,44.

3. Полученные вероятности состояний позволяют рассчитать общую производительность системы через производительность одного компьютера П_пк по формуле: П_А=П_j р_j. Для варианта А имеем

П_А=П_jр_j= 2П_пкр₁+П_пкр₂+0р₃=(20,11+0,44+0) П_пк=0,66 П_пк .

Б. Система с вводом резервной дополнительной машины

1. Пpоведем анализ состояний данной системы и постpоим гpаф функционирования системы. Состояния системы:

S1 – две основные машины pаботают, резервная не работает,

S2 - одна основная машина pаботает, одна основная машина отказала, резервная машина включена и pаботает,

S3 - обе основные машины не pаботают, резервная работает,

S4 – все машины отказали.

2 λ 2 λ λ

S1 S2 S3 S4

μ 2 μ 2μ

Рисунок 2.3 - Граф функционирования системы (вариант Б)

2. Путём решения системы финальных вероятностей найдём вероятности состояний системы:

-2р₁ + р₂ =0, р₂= 2р₁,

-(2+)р₂ +2р₁ +2р₃ =0, р₃= 5р₁,

р₃ - 3р₄ =0, р₄= 10/3 р₁,

р₁+р₂+р₃+р₄ =1. р₁+4р₁+5р₁+10/3 р₁=40/3р₁=1,

откуда р₁=0,075 р₂=0,3 р₃=0,38 р₄=0,25.

3. Рассчитаем общую пpоизводительность системы для варианта Б:

П_Б=П_jр_j=2П_пкр₁+2П_пкр₂+П_пкр₃+0р₄=(20,075+20,3+0,38+0)·П_пк=1,13 П_пк.

Имея общие производительности двух систем, определим коэффициент относительного роста производительности (или относительный прирост производительности):

 = (П_Б – П_А) / П_А =(1,13 - 0,66)/0,66 = 0,71.

Следовательно, относительный прирост производительности составил 71%.

Вычислим сумму экономии Э от ввода резервного ПК, которая зависит от коэффициента , отдачи от одного ПК и математического ожидания числа работающих компьютеров М(n):

Э= А_о М(n)=0,71 ? 1,13 = ….. рублей.

Опpеделим сумму затpат, связанных с вводом pезеpвного ПК:

З= С_пк Е_нв + С_о = ? 0,15 + ? 12 = ….. рублей.

Таким образом, затраты на приобретение резервного ПК превышают экономию от ввода резервного компьютера и убытки составят

=З - Э = ….. рублей.

Вывод. Введение дополнительного резервного персонального компьютера экономически нецелесообразно, поскольку затраты на этот проект намного превысят экономию от ввода дополнительной резервной машины и убытки составят …… рублей.

Задача 2.7. Определить, целесообразно ли с экономической точки зрения установить в отделе дополнительно к одной работающей персональной ЭВМ еще один компьютер (ПК) в качестве резервного.

Исходные данные :

- интенсивность поломок одного ПК = 2,7 (1/год),

- интенсивность ремонта одного ПК = 1,8 (1/год),

- эксплуатационные расходы С_экс=1080 (руб./год),

- стоимость одного ПК C_К=…… рублей (конфигурация: Р-4 /128 Мбайт/ 500 GB/1,44 / Blu-Ray 4x / SVGA-15"- 0,26 / 101 R/L),

- стоимость установки (монтажа) одного ПК С_У=…. рублей,

- нормативный коэффициент отдачи вложений Е_нвт = 0,15,

- годовая отдача от эксплуатации А₀ = …… руб.

Решение.

1. Проведем анализ состояния системы, состоящей из одного ПК:

 S₀ – ПК работает

S₁ – ПК не работает



Построим систему уравнений Колмогорова:

p₀ = p₁

p₁ + p₀ = 1.

Получаем: p₀ = (:)p₁ = (1,8:2,7)p₁ = 0,67p₁

0,67p₁ + p₁= 1, поэтому p₁ = 0,6 и p₀ = 0,4.

Годовая производительность системы L₁ =П1_общ =1П_к p₀ + 0П_к p₁ =0,4 П_к ,

где П_к – производительность одного ПК.

2. Проведем анализ состояния системы, состоящей из двух ПК.

Дальнейшее решение задачи поводится самостоятельно. По графу переходов с учётом увеличения числа состояний необходимо построить систему уравнений Колмогорова, определить вероятности каждого состояния и годовую производительность новой системы П2_общ . Предполагаем, что величины  и  для обоих компьютеров одинаковы.

3. Анализ технологической эффективности

Рост производительности системы за счет покупки еще одного ПК составит L= {( П2_общ - П1_общ ) / П1_общ }.

По величине L необходимо сделать вывод о целесообразности покупки еще одного ПК.

4. Анализ экономической эффективности

Годовая эффективность системы определяется по формуле:

E = А₀ П_общ – (C_к + C_y)E_нвт – С_{экс .}

Оценка экономической эффективности по формуле E = E₂ – E₁ .

Вывод. Покупка второго ПК …. (сделать вывод по результатам оценки технологической и экономической эффективности).

Задача 2.8. Определение закономерности изменения надежности системы обработки управленческих задач за счет изменения числа элементов системы.

Исходные данные: на вычислительный центр поступают заявки на решение задач. Известно, что при работе центра среднее время обслуживания заявки Т_обс =0,8 часа, интенсивность поступления заявок =3,3 (1/час), а допустимый уровень критерия качества управления r =1,6 %.

Необходимо определить вероятность отказа системы в обработке управленческих задач (заявок) при различном количестве компьютеров в системе (параметр ‘n’) и необходимое число компьютеров.

Решение.

1. Интенсивность обслуживания =1/Т_обс=1/0.8=1,25 (1/час), поэтому коэффициент загрузки системы =/=3,3/1,25=2,64 >1, следовательно, система имеет высокую загрузку.

2. В системе не предусмотрена очередь заявок, в ней функционирует ‘n’ каналов обслуживания, т.е. имеем СМО(n, 0). Для такой системы вероятность отказа в обслуживании заявок определяется по формуле [1, 7, 13]:

P_отк(n) = (ⁿ / n!) / (1+  + ² / 2! +...+ ⁿ / n! ).

3. Вероятность отказа в обслуживании заявок для разного числа каналов равна:

n = 0; P_отк(0) = (2,64º/ 0!) / (1) = 1, т.е. система не работает.

n = 1; P_отк(1) = (2,64¹ / 1!) / (1+2,64) = 0,72.

n = 2; P_отк(2) = (2,64² / 2!) / (1+ 2,64 + 2,64² / 2! ) =0,49.

. . . . . . . . . . . . . . .

n = 6; P_отк(6) = (2,64⁶ / 6!) /(1+ 2,64 + 2,64² /2! + 2,64³ /3! + 2,64⁴ /4!+ +2,64⁵ /! + 2,64⁶ /6!) =0,032.

n = 7; P_отк(7) = (2,64⁷ / 7!) / (1+ 2,64 + 2,64² /2! + 2,64³ /3! +2,64⁴ /4! + +2,64⁵ /5! + 2,64⁶ /6! + 2,64⁷ /7!) = 0,012.

Для наглядности удобно построить график в координатах Р_отк– n.

Вывод. Условие P_отк(n)  r выполнено при n=7 (т.к. 1,2 % < 1,6 % ), следовательно на вычислительном центре целесообразно использовать семь компьютеров. Для облегчения анализа системы при изменённых исходных данных целесообразно расчёт провести в табличном редакторе.

Задача 2.9. Автозаправочная станция (АЗС) представляет собой систему СМО (1,3) с одним каналом обслуживания (одной колонкой). Площадка при станции допускает пребывание в очереди на заправку не более трех машин одновременно (m=3). Если в очереди уже находятся три машины, очередная машина, прибывшая к станции, в очередь не становится, а проезжает мимо. Поток машин, прибывающих для заправки, имеет интенсивность λ=1 (машина в минуту). Процесс заправки продолжается в среднем 1,25 мин. Определить:

• вероятность отказа;

• относительную и абсолютную пропускную способности СМО;

• среднее число машин, ожидающих заправки;

• среднее число машин, находящихся на АЗС (включая обслуживаемую);

• среднее время ожидания машины в очереди;

• среднее время пребывания машины на АЗС (включая обслуживание).

m=3

λ

Д K1 μ СМО {1,3}

λ λ λ λ

отказ So S1 S2 S3 S4

μ μ μ μ S4 - вся очередь занята,

прибыла следующая машина.

Рисунок 2.4 - Граф функционирования системы

Решение. Находим приведенную интенсивность потока заявок:

μ= 1/1,25= 0,8; ν= λ/μ= 1/0,8=1,25.

Определяем вероятности состояний (по формулам из [1, 8, 9]):

р_о =(1- ν)/(1- ν^m+2 ) = (1– 1,25)/(1 – 3,05) ≈ 0,12.

Для других состояний: р_i = ν ⁱ р₀ : р₁ = 1,25¹  0,12 ≈ 0,15;

р₂ = 1,25²  0,12 ≈ 0,19;

р₃ = 1,25³  0,12 ≈ 0,24;

р₄ = 1,25⁴  0,12 ≈ 0,30. Вероятность отказа р_отк = р₄ = 0,30.

Относительная пропускная способность системы Q = 1– р_отк = 0,70.

Абсолютная пропускная способность А= λ Q = 0,7 (машины в минуту).

Среднее число машин в очереди: М_ср=1р₁+2р₂+3р₃=1,56.

Среднее число машин, находящихся под обслуживанием:

N_ср=1– р_о = 1– 0,12= 0,88.

Среднее время, которое машина проводит на АЗС, определяется как сумма среднего времени ожидания и среднего времени обслуживания:

Т _сист= t_ож+ t_обсл= М_ср / λ+ Q / μ =1,56/1+0,7/0,8=1,56+0,88=2,44 (минут).

Задача 2.10. Автозаправочная станция (АЗС) с двумя колонками (n=2) предназначена для обслуживания машин. Поток машин, прибывающих на АЗС, имеет интенсивность λ = 2 (машины в минуту); среднее время обслуживания одной машины 2 минуты.

Площадка у АЗС может вместить очередь не более m = 3 (машин). Машина, прибывшая в момент, когда все три места в очереди заняты, покидает АЗС (получает отказ). Необходимо провести анализ функционирования АЗС и найти характеристики СМО [1, 7, 8]: