Билет 30. Инвариантные подпространства минимальной размерности.

Т У всякого линейного оператора в комплексном пространстве существует одномерное инвариантное подпространство (из существования собственного вектора).

Т У всякого линейного оператора в вещественном пространстве существует одномерное или двумерное инвариантное подпространство (характеристический многочлен – многочлен с вещественными коэффициентами, пусть (1) – корень, если он вещественен, то есть собственный вектор, если l0 = a + bi – корень, то a – bi – корень, Ae = l0e – из комплексного пространства f- сопряженный к e, e = x + iy, Ae = (a + bi)(x + iy), Ax = ax – by, Ay = bx + ay, x= (e + f)/2, y = (e-f)/2i, e и f линейно независимы (отвечают разным собственным значениям), подпространство на x, y – инвариантно).

Билет 31. Вещественный аналог жордановой формы.

Если все корни хар. многочлена вещественны, то к нему применима общая теория жордановой формы, те есть квазидиагональная форма с вещественными клетками Жордана на главной диагонали. Рассмотрим случай наличия комплексного корня (1). Есть сопряженный (2). Рассмотрим матрицу оператора в комплексном пространстве. Согласно общей теории в её жордановой форме есть клетки для (1) и (2). Рассмотрим серию базисных векторов, порождающих клетку для (1) Ae1 = l0e1 Aej = l0ej + ej-1, fj = сопряжение к ej Af1 = !l0f1 Afj=!l0fj +fj-1, получаем что клетки для сопряженных собственных значений одинакового порядка и их равное количество. Строим вектора, как в теореме предыдущего билета, и получим инвариантное подпространство, имеющее матрицу

[a b 1 0…………….]

[-b a 0 1…………….]

[……a b 1 0………...]

размерности 2k.

Т Для всякого линейного оператора, действующего в вещественном пространстве, существует базис, в котором матрица оператора имеет квазидиагональную форму с вещественными клетками и клетками жордана (строим жорданов базис все векторы, порождающие комплексные клетки на соответсвтующие вещественные).

Билет 32. Сопряженный оператор. Существование и единственность. Матрица сопряженного оператора.

Т Если A, B из L(V, W), (Ax, y) = (Bx, y) для любого x, то A = B (рассотреть разность).

Отображение A* из W в V называется сопряженным к A, если: (Ax, y) = (x, A*y).

Т Сопряженный оператор линеен (брать разности скалярных прозиведений).

Т Для любого оператора существует, и при том единственный сопряженный оператор (скалярное произведение как произведение координат, расписав по базису (Ax,y) = Add(k=1, n)(x,ek)(Aek,y), рассмотреть оператор By- (Add k=1 n) (y, Aek)ek, внеся сумму под скалярное произведение, единственность вытекает из первых двух теорем этого билета).

Т Операция сопряжения линейного оператора обладает следующими св-вами:

1) (A + B)*= A* + B*

2) (aA)* = (сопряжение a)A*

3) (AB)* = B*A*

4) (A^-1)* = (A*)^-1

5) (A*)* = A

(док-во вытекает из рассмотрения скалярных произведений)

Т Матрицы оператора и его сопряжения в паре ортонормированных базисов сопряжены друг другу (рассмотреть разложения образов по базису).

Следствие: ранг сопряженного оператора равен рангу исходного.

Т Для любого оператора ядро является ортогональным дополнением к образу сопряженного оператора, а ядро сопряженного ортогональным дополнением к образу самого оператора (рассмотреть скалярное произведение любого вектора из ядра на вектор из образа). (дальше для одного пространства)

Биортогональные системы – (xi, yj) = {1, i=j; 0, i != j}.

Биортогональные системы, образующие базисы пространства, называются биортогональной парой базисов.

Т Для любого базиса найдется и при том единственный биортогональный базис (рассмотреть ортогональное дополнение до системы векторов без одного).

Т В паре биортогональных базисов унитарного (евклидова) пространства матрицы сопряженных операторов связаны соотношением (A*)f=(Ae)^H (Aej = Add(k = 1, n)akjek умножим скалярно на fi, и расписать наоборот для произведения, приравняв получим aij=!bji).

Т Если подпространство инвариантно относительно оператора, то его ортогональное дополнение ортогонально относительно сопряженного оператора (x из L y из отртогонального дополнения L, (Ax, y) = 0 = (x, A*y))