Билет 26. Корневые подпространства. Расщепление линейного пространства в прямую сумму корневых подпространств.

Вектор x называется корневым вектором оператора A отвечающим собственному значению lj, ((A – ljI)^k)x = 0. Высотой называется наименьшее такое k.

1. Корневые векторы высотой 1 являются собственными

2. Если x – корневой вектор высоты k, то вектор (A – lj)x – корневой вектор, высотой k-1.

3. Корневые векторы различных высот линейно независимы (док-во как в предыдущем билете).

Из 3) получаем, что высота корневого вектора меньше размерности пр-ва. Корневые векторы, высотой больше 1 называются присоединенными высота-1 порядка. Мн-во всех корневых векторов, отвечающих одному собственному значению, называются корневым подпространством.

Т Вырожденный и не нильпотентный оператор является прямой суммой нильпотентного и обратимого операторов, причем это разложение единственно

Для доказательства нужно доказать, что существует единственная пара подпространств, инвариантных относительно оператора, дающих в прямой сумме все пространство, и таких, что в одном из них оператор нильпотентен, а в другом обратим.

Существование: Nk = ker(A^k), Tk = im(A^k)

1) N1 в N2 в … Nq = Nq + 1=… а) вложение очевидно б) пусть Nk = Nk+1, Nk+1 = Nk + 2, A^k+2 = 0  A^k+1(Ax) = A^k(Ax), из а и б получаем утверждение 1

2) V = Nq + Tq, dim V = dim Nq + dim Tq, Nq пересеченное Tq = {0}, тк y из Tq , y = =(A^q)x, и из Nq (A^q)y = 0, (A^2q)x = 0  x из Nq  (A^q)x = 0.

3) Nq, Tq инвариантны относительно оператора, а) A*x = 0, x из Nq, в силу Nq = =Nq+1 б) y Tq, y = (A^q)x, Ay = Aq(Ax) = Aqx1.

4) Оператор по ядру нильпотентный, так как а) (A^q)x = 0 для любого x из Nq б) Существует x из Nq, такой, что (A^(q-1))x != 0, Nq-1 != Nq.

5) A|Tq обратим, так как его ядро состоит только из нулевого вектора

из 2-5 получаем существование

Единственность: пусть существует другое разложение V = N + T

1) A|N (A^k)x=0, x из N, dim N <= dim Nq

2) Обратимость оператора означает, что im A|T = T, y = Ay1 = A^2y2 = …=A^q yq, dim T <= dim Tq.

dim N + dim T = dim V = dim Nq + dim Tq, N = Nq, T = Tq доказано.

Следствие: Оператор на Nq имеет только нулевые собственные значения, а на Tq не имеет нулевых собственных значений.

Из того, что оператор в некотором базисе принимает квазидиагональную форму, можно получить, что характеристический многочлен представляет собой произведение многочленов в инвариантных подпространствах, дающих в прямой сумме все пространство. Из этого и теоремы получаем следствие

Следствие: для оператора, действующего в комплексном пр-ве f(l) = (-l)^m1*…(lp – l)^mn

A|Nq fn = (-l)^m1, A|Tq ft = (l2 – l)^m2…(lp – l)^mp и dim Nq =m1 dim Tq = m2 +…+mn

Рассмотрим оператор B= A – liI, выполним сдвиг на li оператора A.

1)lb = la – li

2) f(l) = (l1 – l)^m1…(lp – l)^mp- многочлен A, f’(l) = (l1 – lj – l)^m1 * …(lp – lj – l)^mp

3)Подпространство инвариантное относительно B, инвариантно относительно A

Этот оператор вырожден, но не нильпотентен – разлагается по теореме. Корневое подпространство совпадает с Nq. Следовательно корневое подпространство инвариантно относительно оператора.

Из того, что оператор в некотором базисе принимает квазидиагональную форму, можно получить, что характеристический многочлен представляет собой произведение многочленов в инвариантных подпространствах, дающих в прямой сумме все пространство. В каждом корневом подпространстве характеристический многочлен имеет вид (lj – l)^m (из следствия и 2)) а размерность корневого подпространства совпадает с алгебраической кратностью.

Т Если (1) – линейный оператор, действующий в комплексном пр-ве, то все пр-во разлагается в прямую сумму своих корневых подпространств.

Док-во: возьмем индукцию по количеству собственных значений

для 1 почти очевидно, тк размерность Tn = 0 ??

Для -1 верно, рассмотрим V = K + Tq, V1 = Tq, которое инвариантно относительно оператора, и f2(l) = ((l1 – l)^m1) … (lp-1 – 1) ^mp-1, для него верна, V1 = K1 +..+Kp-1

Следствие: Ненулевые корневые вектора отвечающие различным значениям, линейно независимы.

Следствие: Для любого линейного оператора, действующего в комплексном пр-ве, существует базис, в котором его матрица имеет квазидиагональную форму, у которой число диагональных клеток совпадает с числом различных собственных значений, а их размеры – с алгебраической кратностями собственных значений.