Билет 23. Инвариантные подпространства. Сужение оператора.

Если для любого вектора подпространства его образ тоже лежит в этом подпространстве, то это подпространство называется инвариантным.

Т Пусть (1) нетривиальное инвариантное подпространство относительно оператора (2). Тогда существует базис пространства, в котором матрица оператора (2) имеет квазитреугольную форму (дополним базис инвариантного подпространства e1…ek до полного, Ae1 = a11e1 +… + ak1ek…, значит матрица имеет вид |A | B|

|O | C|)

Т Если пр-во является прямой суммой нетривиальных инвариантных подпространств, то в пространстве существует базис, в котором матрица оператора принимает квазидиагональную форму (аналогично предыдущей). Рассматривая линейный оператор на инвариантном подпространстве можно получить новый оператор (A|L)=Ax для любых x из L, называемый индуцированным оператором или сужением оператора.

Билет 24. Треугольная форма матрицы линейного оператора. Теорема Шура.

Т В n-мерном комплексном пространстве для любого линейного оператора существует система n вложенных друг в друга инвариантных подпространств L1…Ln, всех размерностей от 1 до n.

Док-во: индукция по n:

1. для n = 1 очевидно

2. Лемма: линейный оператор действующий в n-мерном пр-ве имеет инвариантное подпространство, размерности n – 1 (линейный оператор в комплексном пр-ве имеет хотя бы одно собственное значение – размерность dim im(A – lI)<=n-1, есть подпространство содержащее весь образ, рассмотреть воздействие на него исходного оператора), из леммы существует пр-во размерности n-1, а по индукционному предположению получаем.

Т Для любого линейного оператора, действующего в комплексном пр-ве, существует базис, в котором матрица оператора имеет треугольную форму (в предыдущей теореме берем базис наименьшего подпространства и дополняем).

Т Шура Для любого оператора, действующего в унитарном пр-ве существует ортонормированный базис, в котором он имеет треугольную матрицу (на каждом шаге предыдущей теоремы строим ортонормированный базис).

Билет 25. Сдвиг оператора, нильпотентность и обратимость его суждений.

Линейный оператор называется нильпотентным, если существует его степень, равная нулевой матрице. Наименьшая такая степень называется индексом нильпотентности (высотой) линейного оператора.

Т Если A – нильпотентный оператор степени (1) и (2) – вектор, который оператор предпоследней степени не переводит в 0, то векторы x0, Ax0,…, (A^(q-1))x0- линейно независимы (приравняем линейную комбинацию к нулю и последовательно будем применять операторы в нужной степени, показывая равенство 0 коэффициентов).

Следствие 1: индекс нильпотентности не превосходит размерности пр-ва.

Т В комплексном пр-ве линейный оператор нильпотентен тогда и только тогда, когда все его собственные значения равны 0 (необходимрость A^qx0 = (l0^q)x, достаточность – проверить умножение матриц).

Если все пространство – прямая сумма подпространств, инвариантных относительно A, то оператор называется прямой суммой индуцированных операторов.

Рассмотрим оператор B= A – liI, выполним сдвиг на li оператора A.

1. lb = la – li

2. f(l) = (l1 – l)^m1…(lp – l)^mp- многочлен A, f’(l) = (l1 – lj – l)^m1 * …(lp – lj – l)^mp

3. Подпространство инвариантное относительно B, инвариантно относительно A