Билет 20. Собственные значения и собственные векторы. Операторы простой структуры и диагонализуемые матрицы.

Ненулевой вектор x называется собственным вектором оператора A, если есть такое число l, что Ax = lx. Число l называется собственным значением оператора, соответствующим данному вектору. Множество всех собственных значений называется спектром оператора.

Т Собственные векторы, отличающие различным собственным значениям линейно независимы (индукция, пусть есть линейная комбинация, подействуем оператором, умножаем исходную комбинацию на последний коэффициент и вычтем из полученной кобинации – получим линейную комбинацию -1 вектора равную нулю).

Следствие: линейный оператор не может иметь больше собственных значений, чем размерность пр-ва.

Линейный оператор называется оператором простой структуры, если у него есть базис собственных векторов.

Т Линейный оператор имеет простую структуру тогда и только тогда, когда в пр-ве существует базис, в котором он имеет диагональную матрицу (в базисе собственных векторов она имеет диагональный вид).

Следствие: Оператор будет оператором простой структуры тогда и только тогда, когда она имеет столько же собственных значений, сколько размерность пр-ва.

Оператор простой структуры так же называют диоганализуемым оператором.

Билет 21. Характеристический многочлен линейного оператора. Условие существования собственных значений.

Характеристическим многочленом матрицы A называется det(A – lI)

Теорема: Характеристический многочлен матрицы является многочленом n-ой степени от l (Каждый элемент матрицы является многочленом степени не выше 1, значит каждый член определителя является многочленом степени не выше n. Все члены определителя, отличные от (a11 – l)(a22-l)…(ann – l) имеют степень не превосходящую n – 2).

Т Характеристические многочлены подобных матриц совпадают (A – lI = (Q^-1)BQ – l(Q^-1)IQ) = B - lI).

Т Число является собственным значением тогда и только тогда, когда оно является корнем характеристического многочлена. (Ax – lI = 0  det(A-lI) = 0). Равенство характеристического многочлена 0 называется характеристическим уравнением.

Билет 22. Собственное подпространство. Геометрическая и алгебраическая кратности собственных значений.

Мн-во {x из V| Ax = l0x} – собственное подпространство оператора A, отвечающее собственному значению l0. Размерность собственного подпространства – геометрическая кратность собственного значения, а кратность как корня – алгебраическая кратность.

Т Геометрическая кратность собственного значения не превосходит его алгебраической кратности (собственное подпространство инвариантно относительно оператора, рассмотрим индуцированный оператор (оператор эквивалентный данному, но взятый на инвариантном подпространстве), тогда матрицей его будет l0I, f(l)=(l0 – l)^s, а характеристический многочлен является делителем исходного).

Т Сумма собственных подпространств оператора, отвечающих различным собственным значениям, является прямой суммой (любая система векторов линейно независима, как система собственных векторов, отвечающих различным собственным значениям).