Билет 14. Матрица линейного оператора при переходе к другому базису. Эквивалентность и подобие матриц.

Т Если y = Ax, то yf = Afexe (из сохранения линейных комбинаций и единственности разложения вектора по базису).

Пусть есть базисы e, t = eC пр-ва (1), а f и s = fD – два базиса (2) и одному и тому же линейному оператору соответствуют матрицы Afe и Ast.

Т Ast = (D^(-1))AfeC ( yf = Afexe, ys = Astxt, xe = Cxt, yf = Dys  Dys = AfeCxt).

Следствие: матрицы линейного оператора в различных базисах эквивалентны (эквивалентность - A = PBQ, P,Q невырождены).

Следствие: Ранг матрицы линейного оператора не зависит от выбора базисов.

Т Две матрицы над одним полем одинакового размера эквивалентны тогда и только тогда, когда они являются матрицами одного и того же оператора (Достаточность из предыдущей теоремы, Необходимость построить соответствующие операторы).

Билет 15. Линейное пространство линейных операторов и матриц.

Суммой линейных операторов отображение (A+B)x = Ax + Bx, (aA)x = aAx.

Для любых двух операторов и произвольного числа из поля верно, что сумма произведение принадлежат тому же мн-ву операторов.

Следствие 1: Сложение и умножение оператора на число являются внутренним и внешним законами композиции.

Т Мн-во всех операторов из (1) в (2) – линейное пр-во над тем же полем (проверка аксиом элементарна).

Т Пространство линейных операторов изоморфно соответствующему пр-ву матриц (фиксируем базисы и получаем).

Следствие: dim L(V, W) = dim V *dim W

Билет 16. Произведение линейных операторов и его матрица.

Произведением линейных операторов A из L(V, W) и B из L(W, Z) называется отображение C V в Z, такое что Cx = B(Ax).

Т Если A из L(V, Z), а B из L(W, Z), то BA из L(V, Z) (док-во в лоб).

Простейшие св-ва:

1. Ассоциативность

2. a(AB) = (aA)B = A(aB)

3. (A + B)C = AC + BC

4. A(B + C) = AB + AC

Т При умножении линейных операторов их матрицы умножаются ( (BA)ge= BgfAfe) (в лоб проверяется).

Билет 17. Ядро и образ линейного оператора. Каноническая пара базисов.

Образом линейного оператора A из L(V, W) называется im A = {y из W|существует x из V: Ax = y}

Ядром оператора A из L(V, W) ker A = {x из V| Ax = 0}

Т Ядро и образ пр-ва являются линейными пр-вами (просто проверить).

Т образ пр-ва – линейная оболочка натянутая на образ базиса (любой – вектор из образа, любой из оболочки).

Ранг линейного оператора – размерность его образа, дефект – размерность его ядра.

Т Ранг линейного оператора равен рангу его матрицы в произвольной паре базисов (ранг системы образов совпадает с рангом системы столбцов в матрице).

Т Ранг + дефект = размерность пр-ва (дополняем базис ядра и образы добавленных векторов не могут быть зависимы, тк иначе их нетривиальная линейная комбинация принадлежала бы ядру).

Т Множество всех прообразов одного вектора является линейным многообразием, направляющее подпространство которого – ядро (рассмотреть в лоб).

Т Пусть A линейный оператор из L(V, W), rgA = r, dimV = n, dimW = m. Тогда существуют базисы e и f такие, что оператор в них имеет вид

I O

O O – все элементы равны 0, кроме первых r диагональных (текущая матрица оператора эквивалентна).

Базисы e и f называются канонической парой базисов.

Билет 18. Линейные функционалы. Сопряженное пространство. Линейные функционалы и гиперплоскости.

Линейное отображение V в поле называется линейной формой (линейным функционалом) в пр-ве V. f(x) = a1x1 +…+anxn – общий вид линейной формы, коэффициенты a1…an называются коэффициентами линейной формы в базисе e1…en

Т о множестве всех прообразов (Б17) относится и к этому случаю – множество всех решений ур-я – гиперплоскость. Линейное пр-во всех линейных форм называется сопряженным пр-вом к пр-ву V, оно обозначается V*.

Т dim V* = dim V (из следствия ТБ15).

Следствие: Всякое конечномерное линейное пр-во изоморфно своему сопряженному.

Билет 19. Обратный оператор. Критерий обратимости.

A из L(V,V).

Отображение A^-1 называется обратным к оператором к A, если A(A^-1)=(A^-1)A = I

Т Линейный оператор обратим тогда и только тогда, когда он биективен (рассмотреть вектор).

Т Обратный оператор единственен (через матрицы).

Т Обратный оператор линеен (раз оператор биективен, значит сюръективен, те для любых y1, y2 V существуют x1, x2 V, y1 = Ax1, y2 = Ax2, x1 = (A^-1)y1, x2 = (A^-1)y2, откуда простой подстановкой проверяем условие линейности).

Т Оператор обратим тогда и только тогда, когда его матрица в произвольном базисе обратима (через определение произведения операторов).

Оператор называется невырожденным если его ядро равно нулевому вектору.

Т В конечно мерном пр-ве утверждение равносильны:

1) AA^-1 = I

2) (A^-1)A = I

3) A не вырожден

4) imA = V

5) detA != 0

6) A обратим

7) A биективен

1) и 2) – из св-ва матриц, по теореме о матрицах так же 1) - 5) и 1)-6) из св-ва операторов. 1)-3)-4) из того,ч то по 1 эквивалентно тому, что ранг оператора равен n

Т Произведение обратимых операторов обратимо, причем (AB)^-1 = (B^-1)(A^-1).