Билет 9. Ортогональное дополнение. Ортогональная сумма подпространств. Расстояние от вектора до пространства.

Совокупность всех векторов, ортогональных подпространству, называется ортогональным дополнением.

Т Ортогональное дополнение – линейное подпр-во (сумма двух скалярных произведений, и из свойств скалярного пр-я).

Т Прямая сумма подпр-ва и его ортогонального дополнения – все пр-во (рассмотреть наличие еще одного базисного вектора и применить к базису процесс ортоганалиации).

Следствие: существует единственное разложение вектора на подпр-во и его ортогонального дополнения. Вектор из подпр-ва – проекция, добавочный – ортогональная составляющая. Скалярный квадрат наклонной равен сумме скалярных квадратов проекции и перпендикуляра. Длина перпендикуляра – расстояние до подпр-ва.

Билет 10. Ортонормированный базис и унитарные (ортогональные) матрицы.

(Начало взять из Б6)

Матрица над полем комплексных чисел называется унитарной, если произведение её на сопряжение равно произведению сопряжения на неё и равно I. Матрица над полем вещественных чисел называется ортогональной, если обратная к ней – транспонированная.

Т Матрица перехода от ортогонального базиса (1) к базису (2) евклидового (унитарного) пр-ва ортогональна (унитарна) тогда и только тогда, когда (2) ортогональный базис.

(Столбцы матрицы перехода – координаты нового базиса в старом, расписать равенство I, получить выражения для скалярных произведений).

Билет 11. Процесс ортогонализации Грамма-Шмидта. QR-разложение матрицы.

Процесс: 1 шаг – нормируем 1 базисный вектор.

последующие шаги - вычитаем из соответствующего базисного вектора новые базисные вектора с коэффициентами из соображения ортогональности, затем нормируем.

Процесс ортогонализации приводит путем элементарных преобразований столбцов матрицу к ортогональной (унитарной) Q путем умножения исходной матрицы справа на верхнюю треугольную L. R = L^(-1). L – квадратная матрица.

Билет 12. Линейное аффинное многообразие в линейном пространстве. Гиперплоскость в евклидовом и унитарном пространстве.

Вектор многообразия, перпендикулярный образующему пространству, называется нормальным вектором.

Т Для любого линейного многообразия в евклидовом (унитарном) пр-ве существует, и притом единственный, нормальный вектор (пересечение многообразия с ортогональным дополнением к образующему пространству состоит из 1 вектора, а это доказывается через разложение нормального вектора).

Т Нормальный вектор линейного многообразия совпадает с перпендикуляром, опущенным из любого вектора линейного многообразия на направляющее подпр-во (выбрать в качестве направляющего вектора нормальный).

Гиперплоскость: размерность дополнительного подпр-ва – 1. Выражение для гиперплоскости (x – x0, a) = 0 или в равносильной форме (x, a) = p, p = (x0, a)

Билет 13. Линейные операторы. Матрица линейного оператора.

Пусть (1) и (2) – линейные пр-ва над одним полем. Отображение A: (1)  (2) называется линейным отображением (1) в (2), если

1. A(x + y) = A(x) + A(y)

2. A(ax) = aAx

a – из поля, x, y – из (1).

Если (2) совпадает с полем – то отображение называется линейным функционалам в пр-ве (1). Мн-во всех операторов из V в W обозначается L(V, W). A = B  Ax = Bx для любых x из V.

1. Линейный оператор переводит нулевой вектор в нулевой вектор

2. Линейный оператор сохраняет линейные комбинации

3. Линейный оператор сохраняет линейную зависимость.

Для задания линейного оператора достаточно определить его значения на базисе.

Т Пусть базис e1,…,eN пр-ва (1) переходит в набор векторов g1,…,gN – произвольные векторы (2). Тогда существует единственный линейный оператор переводящий векторы e1,…,eN  g1,…, gN (из свойства 2).

Векторы Ae1,…,AeN однозначно раскладываются по базису (2)

Ae1 = a11f1+…+am1fm

…………………………

Aen = a1nf1+…+amnfm

Матрица aij называется матрицей оператора в паре базисов e, f. (Afe).

Пусть размерность (1) n, а (2) m. Тогда существует взаимно однозначное соответствие между линейными операторами и матрицами. (1 – сюръективно, так можно построить матрицу, 2 – инъективно, по предыдущей Т).