Билет 5. Евклидово и унитарное пространство. Неравенство Коши-Буняковского-Шварца.

Отображение VxV  P называется скалярным произведением, если оно удовлетворяет следующим условиям:

1. (x, y) = сопряжение к (y, x)

2. (ax, y) = a (x, y) , a из P

3. (x + y, z) = (x, z) + (y, z)

4. (x, x) >= 0, (x, x) = 0  x=0

Вещественное линейное пр-во со скалярным пр-м называется евклидовым, а комплексное – унитарным.

Простейшие св-ва:

1. (x, y + z) = (x, y) + (x, z)

2. (x, ay) = сопряжение a(x, y)

3. (0, x) = (x, 0) = 0

4. (x, y) = 0 для любого y  x = 0;

5. Любое подпространство евклидова (унитарного) пр-ва – евклидово (унитарное) пр-во

Неравенство Коши-Буняковского: |(x,y)|^2 <= (x,x)(y, y)

(рассмотрим (ax- y, ax – y), преобразовав возьмем a = (y, x)/(x, x) а сопряженное a = (x, y)/(x,x))

Билет 6. Скалярное произведение в ортонормированном базисе. Существование ортонормированного базиса.

Два вектора называются ортогональными, если их скалярное произведение равно 0. Вектор называется ортогональным подпростаству, если он ортогонален любому вектору этого подпр-ва. Два под-ва называются ортогональными, если скалярное произведение векторов из разных подпространств равно 0. Сумма подпространств называется ортогональной, если её слагаемые попарно ортогональны. Система векторов называется ортонормированной, если скалярный квадрат любого вектора равен 1, а произведение любых двух различный векторов в базисе равно 0.

Т Ортогональная система ненулевых векторов линейно независима (домножаем линейную комбинацию равную 0 на любой вектор базиса).

Следствие 1: Ортонормированная система векторов линейно независима.

Следствие 2: В n-мерном евклидовом (унитарном) пространстве любая ортонормированная система из n векторов образует базис.

Базис, векторы которого образуют ортонормированную систему, называется ортонормированным базисом.

Т В евклидовом (унитарном) пр-ве координаты вектора вычисляются как скалярное произведение этого вектора на базисный тогда и только тогда, когда базис ортонормированный (Необходимость: координаты базисных векторов 1, Достаточность:

помножить на любой базисный вектор разложение по координатам).

Т В евклидовом (унитарном) пр-ве скалярное произведение векторов заданных своими координатами в базисе вычисляется по правилу сумма произведений координат 1ого на сопряжение координат второго тогда и только тогда, когда базис ортонормирован (Необходимость – через произведение двух базисных векторов, достаточность через разложение вектора по базису).

Т В конечном евклидовом (унитарном) пр-ве существует ортонормированный базис (Индукция: для 1 почти очевидно, для n – 1 верно, пусть имеется базис (f1…fn), для первых n -1 векторов существует ортонормированный базис, из последнего вычтем ортоногальные с такими коэффициентами, что получившийся вектор будет ортогональным, потом его нормируем).

Билет 7. Изометрия.

Два евклидовых (унитарных) пр-ва называются изоморфными, если существует биективное отображение, сохраняющее законы композиции и скалярное произведение. Само отображение называется изометрией или евклидовым изоморфизмом.

Изоморфные евклидовы (унитарные) пр-ва изоморфны как линейные пр-ва.

Т Два евклидовых (унитарных) пр-ва изоморфны тогда и только тогда, когда их размерности равны (необходимость из изоморфности как линейных пр-в, достаточность – рассмотреть ортонормированные базисы).

Билет 8. Матрица Грамма. Критерий линейной зависимости.

Матрицей Грамма называется матрица скалярных произведений сij = (ai, aj). Определитель этой матрицы – определитель Грамма.

Т Система векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда определитель Грамма равен 0. (Рассмотрим произвольный вектор, если он равен 0, то он ортогонален любому базисному вектору, наличие ненулевого такого вектора означает наличие нетривиального решение системы уравнений (со скалярными произведениями), матрица которой – транспонированная матрица Грамма, те равенство нулю определителся).

Матрица называется эрмитовой – если она равна сопряженной, симметрической, если равна транспонированной.