Билет 40. Сингулярные числа и сингулярные векторы. Полярное разложение оператора (матрицы).

Т Для любого оператора A из L(V, W) ранга r, существуют такие положительные числа p1>=p2>=…>=pr>0, ортонормированный базис V e1,…,en и W f1,…,fm,

Aek= {pkfk, k =1,…,r; 0, k=r +1,…, n}, A*fk = {pkek, k=1,…,r; 0, k=r+1,…,m}

Док-во:

1. A*A из L(V, V), AA* из L(W, W);

2. (A*A)*=A*A, (AA*)*=AA*

3. A*A >= 0, AA* >= 0  (A*Ax, x) = (Ax, Ax) >=0; (AA*x, x) = (A*x, A*x)>= 0

4. Для оператора A*A существует ортонормированный базис собственных векторов, причем соответствующие собственные значения не отрицательны, пусть rgA*A = t, базисные векторы пронумерованы так, что первые p1^2>=p2^2…>=pt^2, а остальные 0, {A*Aek = (pk^2)ek, k < t, A*Aek = 0, k > t}

5. Рассмотрим Ae1,…,Aen а) Aek из W, б) (Aek, Aej) = (A*Aek, ej) = pk^2(ek, ej) = {pk^2, j = k; 0, j != k}  Ae1,… Aet – попарно ортогональные векторы из W, Aek = 0, k > t, те они образуют базис образа. |Aek| = pk.

6. Обозначим fk = Aek/pk, k=1,…,r  {Aek = pkfk, k <=r; Aek = 0, k >=r} Дополним систему векторов f до ортонормированного базиса

7. Векторы f1…fm – собственные векторы AA*, AA*fk = AA*(Aek/pk) = pkAek = pk^2fk

8. Построены два ортонормированных базиса соответствующих пространств и из 6) следует, что матрица Afe – прямоугольная диагональная матрица (как квадратная диагональная слева и справа 0 матрица) размера mxn с невозрастающими неотрицательными элементами на диагонали

9. Afe=(A*)ef^H, те A*fk = {pkek, k <= r; 0, k > r}

10. 6 и 9 составляют условие теоремы.

Следствие: rg = rg A = rg A* = rgA*A = rgAA*

Следствие: Нулевые собственные значения A*A и AA* совпадают. Их число – s = min(m, n) – rg

Следствие:

imA = L(f1,…,fr)

kerA= L(er+1,…,en)

imA*=L(e1,…,er)

kerA*=L(fr+1,…,fm)

Замечание: теорема верна в одном пространстве.

Числа p1,…,ps называются сингулярными числами (корни из собственных значений произведения оператора на сопряжение) оператора. Векторы e1,…,en – правые сингулярные векторы оператора; f1,…,fm – левые сингулярные векторы.

Т Линейный оператор, действующий в унитарном (евклидовом) пространстве, может быть представлен в виде произведения A= BU, где B – неотрицательный оператор,U – унитарный (ортогональный). При этом B определен однозначно, а если оператор обратим, то U тоже.

Существование: пусть есть пара сингулярных базисов e, f , Uek = fk; Bfk=pkfk, U – унитарный, так как переводит один ортонормированный в другой, собственные значения B - pk >= 0, A = BU, по определению сингулярных

Единственность: A = BU, A* = U*B*; AA*=B*^2, те B* - квадратный корень, существующий и определенный однозначно. rg AA*= rgA*A  если первый обратим, то второй тоже обратим  pk != 0, U = (B^-1)A.

Т Линейный оператор в унитарном (евклидовом) пространстве нормален тогда и только тогда, когда в любом его полярном разложении BU = UB (AA*=B^2, A*A=U*BBU достаточность: BU=UB AA*=U*BBU = U*BUB=U*UBB = A*A, необходимость: возьмем ортонормированный базис из собственных векторов: A*Aek = (pk^2)ek, k=1,…,n, A*A=U*BBU  U*BBU=pk^2ek, те BBUek = (pk^2)Uek, в силу унитарности U Ue1,…,Uen образуют ортонормированный базис  BUek=pkUek, k=1…n, AA*=A*A=B^2, B^2ek=pk^2ek  Bek = pkek, умножив слева на U UBek = pkUek  BU=UB