Билет 38. Блочно-диагональная форма ортогональной матрицы.

l = +-1, detQ = +-1, Qe^-1 = Qe^T, в любом ортогональном базисе. В одномерном случае Qe =[+-1], Двумерный случай существует ортонормированный базис в котором оператор имеет либо вещественную диагональную матрицу, либо вещественную клетку, вида

[a b], a^2 + b^2 = 1, a = cosw, b = -sinw, получим новую форму.

[-b a]

Т Для любого ортогонального оператора существует ортонормированный базис, в котором его матрица имеет квазидиагональную форму, вида: сначала 1, потом -1, потом клетки в тригонометрической форме (по последней Т билета 34.

Простым вращением называется оператор в евклидовом пространстве, который, в некотором ортонормированном базисе, имеет квазидиагональную форму вида 1…1 вещественная клетка в тригонометрической форму 1…1.

Простым отражением называется оператор в евклидовом пространстве, который, в некотором ортонормированном базисе, имеет квазидиагональную форму вида 1…1 -1 1…1.

Т Всякий ортогональный оператор может быть представлен как композиция некоторого числа простых вращений и отражений ( Его матрица может быть представлена).

Билет 39. Знакоопределенные операторы и матрицыю Квадратный корень из оператора.

Т Если в унитарном пространстве для любого вектора скалярное произведение его образа на него самого равно 0, то оператор нулевой (рассмотреть (B(y + z), y +z) = 0 (B(iy +z), iy +z) = 0, домножив после преобразования одно на –i, получить (By, z)=0  B = O).

Т Линейный оператор эрмитов тогда и только тогда, когда (Ax, x) вещественно для любого вектора (необходимость: (Ax, x)=(x, A*x)-(x, Ax)  (Ax, x) =!(Ax, x) свойство скалярного произведения, достаточность: (Ax, x) = (x, Ax)=(x, A*x)  (x,(A-A*)x)=0 и по первой теореме). Эта теорема позволяет говорить о знаке самосопряженного оператора.

Положительно определенный (Ax, x) >0, неотрицательно определенный (Ax, x)>=0, отрицательно определенный (Ax, x) < 0, неотрицательно определенный (Ax, x)<=0. Скалярное произведение в ортонормированном базисе может быть записано в виде (Ax, x) = xe^HAexe, при естественном скалярном произведении и по знаку этого произведения мы можем определить понятия знака эрмитовой матрицы. Оператор положительно определен тогда и только тогда, когда имеет положительно определенную матрицу.

Т Самосопряженный оператор в унитарном пространстве положительно определен (аналогично для остальных знаков), когда его собственные значения больше 0 (…) (необходимость: (Ax, x) >0  l(x, x) > 0  l >0, достаточность: раз оператор самосопряженный, то есть ортонормированный базис собственных векторов, расписать скалярное произведение (Ax, x)).

Следствие: Если оператор положительно определен (отрицательно), то оператор обратим, тк det = l1…ln.

Т Оператор, обратный к положительно (отрицательно) определенному оператору, положительно (отрицательно) определен ((A^-1)*= (A*)^-1, A > O, все собственные значения сопряженного оператора положительны, так как они обратны соответствующим собственным значениям самого оператора).

Т Для любого неотрицательно определенного оператора A существует, и при том единственный неотрицательно определенный оператор B, B^2 = A

Существование: возьмем ортонормированный базис собственных векторов и l`i = sqrt(li)

Единственность: пусть есть второй положительно определенный оператор, тогда у него есть базис собственных векторов, Cfi = mkfk  Afi = C^2fk = mk^2fk  mk^2= li, покажем, что Cei = sqrt(li)ei, разложим ei по базису f, в силу линейной независимости собственных векторов, отвечающих различным собственным значениям, останутся в разложении только ei и fk, Cei = Add(k = 1, n)akCfk = Add(k=1, n)aksqrt(li)fk = sqrt(li)Add(akfk) = sqrt(li)ei, чтд.

Оператор B называется квадратным корнем из оператора A.