Билет 33. Нормальный оператор и нормальная матрица.

Линейный оператор A из L(V,V) называется нормальным, если AA*=A*A. Квадратная матрица называется нормальной, если её произведение на сопряженную равно произведению сопряженной на неё.

Замечание: оператор нормален тогда и только тогда, когда в любом ортонормированном базисе его матрица нормальна.

Т Собственный вектор нормального оператора, отвечающий собственному значению l, является собственным вектором сопряженного оператора, отвечающим собственному значению !l (из нормальности оператора следует нормальность сдвинутого оператора на собственное значение, (A-lI)x = 0 ((A-lI)x, (A – lI)x)=0  по Т предыдущего билета (x, (A-lI)(A-lI)x)=0, ((A-lI)*x,(A-lI)*x)=0, (A-lI)*x=0 (A*-!lI)x=0 A*x=!lx).

Следствие: если оператор нормален, то его ядро совпадает с ядром сопряженного оператора.

Следствие: если оператор нормален, то верна последняя Т предыдущего билета

Т Собственные векторы нормального оператора, отвечающие различным собственным значениям, попарно ортогональны (Ax = lx, Ay=my, l!=m, (Ax, y)=(lx,y)=l(x,y)=m(x,y)  (x,y)=0).

Билет 34. Блочно-диагональная форма вещественной нормальной матрицы.

Ортонормированный базис унитарного (евклидового) пространства, в котором матрица имеет треугольную форму, называется базисом Шура.

Т (критерий нормальности). Линейный оператор, действующий в унитарном пр-ве, нормален тогда и только тогда, когда существует ортонормированный базис из собственных векторов этого оператора (необходимость: рассмотрим нормальный оператор в его базисе Шура, тк его матрица нормальна, и предпоследней теореме Б32 Ae*(Ae)^H =(Ae)^HAe рассмотреть диагональные элементы, получить равенство не диагональных 0, следовательно имеет диагональную форму, те базис Шура является ортонормированным базисом собственных векторов, достаточность: пусть матрица диагональна – из перестановочности диагональных матриц следует нормальность).

Следствие: в унитарном пространстве нормальный оператор и его сопряженный оператор имеют общий ортонормированный базис из собственных векторов.

Т Если любой собственный вектор оператора, действующего в унитарном пространстве, является собственным вектором сопряженного к нему оператора, то оператор нормальный (раз есть общий собственный вектор, то подпространство, натянутое на этот вектор будет инвариантно относительно сопряженного оператора, по последней теореме Б32 его ортогональное дополнение инвариантно относительно исходного оператора, так же поступаем и для него, базис, полученный с помощью данного алгоритма, нормируем и по предыдущей теореме получаем).

Унитарно-подобные матрицы: B = (Q^-1)AQ, Q – унитарная матрица ( QQ^H= Q^HQ=I)

Замечание: две комплексные матрицы одинакового порядка унитарно подобны тогда и только тогда, когда они являются матрицами одного и того же оператора в унитарном пространстве в ортонормированных базисах (т матрица перехода от ортонормированного базиса ко второму базису ортогональна тогда и только тогда, когда второй базис ортогонален, две матрицы подобны тогда и только тогда, когда они являются матрицами одного и того же линейного оператора, действующего в пространстве).

Т Квадратная комплексная матрица нормальна тогда и только тогда, когда она унитарно подобна диагональной матрице. Другая формулировка: матрица нормальна тогда и только тогда, когда она имеет базис из собственных векторов (просто переформулирование критерия).

Т Линейный оператор, действующий в вещественном пространстве, нормален тогда и только тогда, когда существует базис пространства, в котором он имеет квазидиагональную матрицу с вещественными клетками первого порядка и вещественными клетками второго порядка на главной диагонали, вида

[a, -b]

[-b, a]

(достаточность проверяется непосредственно, необходимость рассмотреть два собственных вектора, отвечающих сопряженным собственным значениям, построить вещественные векторы как в Б30, рассмотреть скалярное произведение собственных векторов, оно равно 0, получить соотношения на новые векторы, рассмотреть нормированные векторы, получить форму оператора).