Линейная алгебра. 2 Семестр

Билет 1. Линейное пространство над произвольным полем. Ранг и база системы векторов.

Непустое мн-во (1) называется линейным (векторным) пр-вом над полем (2), если определены внутренний закон композиции: (1)х(1)  (1), называемый сложением, и внешний закон композиции: (2)x(1)(1), называемый умножением, удовлетворяющие аксиомам: коммутативность, ассоциативность, существование 0 и обратного для сложения, существование 1, ассоциативность множителей из (2), две дистрибутивности для умножения. Линейное пр-во над вещественным полем – вещественное линейное пр-во, а над комплексным полем – комплексное. Два вектора коллинеарные, если они отличаются числовым множителем. Аффинным (точечно-аффинным) пространством над линейным пр-вом (1) называется мн-во (2) элементов, называемых точками, для которого заданы:

а) Линейное пр-во (1) над полем (3)

б) Отображение (2)х(2)  (1), ставящее в соответствие каждой упорядоченной паре точек из (2) вектор из (1) и удовлетворяющее следующим аксиомам:

1) для любой точки A из (2) и вектора a из (1) существует единственная точка B из (2), такая, что v(A, B) = a;

2) A, B, C из (2) v(A, B) + v(B, C) = v(A, C).

Размерностью (2) называется размерность (1). Любое линейное пр-во можно рассматривать как аффинное над самим собой (обозначив отображение за разность), а любое аффинное как линейное (выбрав начало).

Т Отображение (2) в (1) определяемое p(A) = OA является биекцией, сохраняющей операцию v аффинного пр-ва, те v(A, B) = v(p(A), p(B)) (биективность из 1ой аксиомы, а равенство – достаточно рассмотреть разность).

Будем рассматривать конечные системы векторов. Линейно независимая подсистема системы векторов, через которую выражается любой вектор этой системы, называется базой.

Т Подсистема системы векторов образует базу тогда и только тогда, когда образует максимальную линейно независимую подсистему (Необходимость: пусть подсистема векторов образует базу, любой добавленный линейно выражается через них – нет линейной независимости, достаточность – при добавлении вектора исчезает линейная независимость, добавленный выражается).

Следствие: все базы одной системы векторов состоят из одинаково числа векторов. Число векторов в базе называется рангом системы векторов. Две системы векторов называются эквивалентными, если любой вектор одной выражается через другую систему. База системы векторов эквивалентна самой системе.

Т Если система векторов (1) линейно выражается через (2), то rg(1) <= rg(2) (база первой системы выражается через базу второй, если по Т большая система линейных векторов выражается через меньшую – большая линейно зависима).

Билет 2. Изоморфизм линейных пространств.

Два линейных пр-ва называют изоморфными, если существует биективное отображение одного в другое, сохраняющее законы композиции. Само отображение называется изоморфизмом линейных пр-в.

Простейшие св-ва:

1. отношение изоморфизма – отношение эквивалентности на мн-ве линейных пр-в над одним полем

2. в изоморфных пр-вах а) образ (прообраз) линейной комбинации – линейная комбинация образов (прообразов) с теми же коэффициентами б) образ (прообраз) нулевого вектора – нулевой вектор в) образ и прообраз линейно независимой системы – линейно независимая система г) образ (прообраз) базиса – базис.

Т Два линейных пр-ва над общим полем изоморфны тогда и только тогда, когда их размерности совпадают (Необходимость из г, Достаточность – каждому вектору ставим в соответствие вектор с теми же координатами во втором базисе, в силу единственности разложения – отображение биективно, при этом координаты обладают линейностью, значит отображение изоморфизм).

Следствие: любое n-мерное вещественное пр-во изоморфно арифметическому пр-ву R^n, а комплексное C^n. (Базис единичных векторов).

Это называется координатным изоморфизмом.

Билет 3. Сумма и пересечение линейных подпространств.

Суммой векторов называется мн-во всевозможных векторов, представимых в виде:

x = x1 +…+xk, где xi принадлежит Li. Это представление вектора x называется разложением по подпространствам. Пересечением подпространств называется мн-во всех векторов, принадлежащих каждому из подпространств.

Т Сумма и пересечение подпространств – линейные подпространство всего пр-ва (сумма и произведение на элемент поля принадлежат подпространству).

Т Сумма линейных подпр-в есть линейная оболочка совокупности базисов слагаемых подпространств (почти очевидно).

Следствие: размерность суммы линейных под-прв равна рангу совокупности базисов (почти очевидно).

Т Для любых двух линейных подпр-в одного линейног пр-ва размерность суммы равна сумме размерностей минус размерность пересечения (дополняем до базиса каждого из подпространств, по предыдущей теореме эта совокупность векторов – базис суммы, и используем единственность разложения для док-ва независимости).

Билет 4. Прямая сумма подпространств.

Сумма подпространств линейного пр-ва называется прямой суммой, если разложение каждого вектора в ней по слагаемым подпространствам единственно.

Т Критерий прямой суммы - утверждения равносильны:

1. сумма подпространств прямая

2. совокупность базисов линейно независима

3. совокупность базисов подпространств образует базис суммы

4. размерность суммы – сумма размерностей

5. существует вектор, для которого разложение единственно

6. произвольная система ненулевых векторов, взятых по одному из каждого подпространства линейно независима

7. пересечение любых двух подпространств – 0 вектор.

1 – 2 иначе было бы два разложение 0 вектора.

2 – 1 рассмотреть разность двух разложений – получить нетривиальную комбинацию

2 – 3 3 - 2 из Т о сумме линейных подпр-в (Б3)

3 – 4 4 – 3 различие только в терминологии

5 – 1 рассмотрим от противного разность двух разложений, получим не тривиальное разложение 0 вектора. прибавим его к вектору, для которого разложение единственно и получим его второе разложение

1 – 5 очевидно

1 – 6 получить второе разложение 0 вектора

6 – 1 рассмотреть разность двух разложений

4 – 7 7 – 4 теорема о размерности (последняя теорема Б3)

Т Линейное пр-во является прямой суммой двух своих под-ств тогда и только тогда, когда размерность всего пр-ва равна сумме размерностей, а размерность их пересечения равна 0 вектору. (Необходимость – критерий прямой суммы Достаточность – размерность подпространства меньше размерности пр-ва).

Дополнительным подпространством к (1) называется подпространство (2), если прямая их сумма равна всему пр-ву.