Лабораторная работа № м06 Главные моменты инерции
Цель работы: Измерить главные моменты инерции прямоугольного параллелепипеда и двух цилиндров двумя способами.
Приборы: линейка (штангенциркуль);
транспортир (шкала углов поворотного стола);
секундомер с фотодатчиком.
Описание эксперимента
1. Движение твердого тела можно представить как результат двух движений: поступательного и вращательного. Причиной вращательного движения являются моменты сил . Момент силы определяет как силой , так и координатой точки приложения силы, и момент силы равен
Реакцией
твердого тела на приложенные моменты
сил является ускоренное, неравномерное
вращение тела. Угловое ускорение
тела зависит не только от момента сил
,
но и от массы, размеров и формы тела.
Физическая величина, которая характеризует
инертные свойства тела при вращательном
движении, называется моментом инерции
твердого тела
.
Таким образом, динамика вращательного движения твердого тела описывается уравнением:
Момент инерции определяется относительно заданной оси. Момент инерции одного и того же тела относительно различных осей имеет различные значения.
Вращательное движение свободного твердого тела может иметь устойчивый характер, если вращение происходит вокруг так называемых главных осей. При вращении свободного тела вокруг одной из трех главных осей ориентация такой оси в пространстве не изменяется. Три главные оси взаимно перпендикулярны и проходят через центр инерции тела. Моменты инерции тела относительно главных осей называются главными моментами инерции.
Главные оси инерции,
аналогично, осям декартовой системы
координат обозначают
,
,
и
,
а главные моменты инерции, соответственно,
,
и
.
Главными осями
для прямоугольного параллелепипеда
являются три взаимно перпендикулярные
оси параллельные ребрам параллелепипеда
и проходящие через его центр инерции.
На рис. 1 изображен прямоугольный
параллелепипед и три главные оси. Три
главных момента инерции, параллелепипеда,
масса которого
,
а ребра равны
,
и
можно вычислить по формулам:
(1)
Рис. 1.
Одной из главных осей прямоугольного цилиндра является его ось симметрии. Если масса цилиндра , а радиус , то главный момент инерции цилиндра относительно это оси равен
(2)
Идея лабораторной работы заключается в возбуждении крутильных колебаний твердого тела, измерении периода колебаний и момента инерции.
Лабораторная работа состоит из двух упражнений.
Упражнение
1.
Исследуемым телом является прямоугольный
параллелепипед. При исследовании ось
вращения стола
(рис. 2) совпадает с одной из трех главных
осей параллелепипеда.
Возбуждают крутильные колебания прямоугольного параллелепипеда относительно главных осей инерции, измеряют периоды колебаний и вычисляют главные моменты инерции. Полученные экспериментально главные моменты инерции сравнивают с результатами расчетов этих же величин по формулам (1)..
Упражнение 2. Исследуемыми телами являются два цилиндра. Цилиндры крепятся на поворотном столе так, что их главные оси не совпадают с осью вращения . Главные оси цилиндров и ось вращения параллельны друг другу и лежат в одной плоскости.
Возбуждают крутильные колебания тела состоящего из двух цилиндров. Измеряют период колебаний и вычисляют момент инерции. Полученное значение сравнивают с результатами расчетов.
Лабораторная работа проводится на установке, схема которой приведена на рис. 2.
Стол 1 закреплен на шкиве 2, который приводится во вращение нитью 3. Концы нити 3 посредством двух пружин 4 прикреплены к стойке 5. Шкив 2 соединен с вращающимся диском 6, имеющим риску - указатель 7, которая перемещается вдоль шкалы 8. Диск 6 имеет прорезь 9, расположенную диаметрально противоположно относительно риски 7. При прохождении прорези 9 через зазор фотодатчика 10 (когда риска 7 находится на нулевом делении шкалы 8) включается система измерения периода крутильных колебаний ИСМ 11. Движение поворотного стола 1 контролируется тормозом 12.
Схема установки
Рис. 2
1 – поворотный стол; 2 – шкив;
3 – нить 4 – пружины;
5 – стойка; 6 – вращающийся диск;
7 – риска указатель; 8 – шкала для измерения углов;
9 – прорезь на диске 6; 10 – фотодатчик;
11 – система измерения периода колебаний;
12 – тормоз системы
Лабораторные упражнения состоят из трех этапов:
-
Измеряют период колебаний стола (без
тела)
.
Вычисляют момент инерции стола
.
-
Закрепляют на столе тело. Измеряют
период колебаний стола с телом
.
Вычисляют момент инерции стола с телом
.
-
Вычисляют момент инерции тела
по формуле
Расчетные формулы.
Сила упругости пружин действующих на шкив 2 равна
где:
- линейная деформация пружин,
-
жесткость пружин.
Момент силы упругости пружин действующий на шкив равен
где - радиус шкива.
Линейная деформация пружин связана с угловым перемещением шкива соотношением
Тогда момент силы упругости равен
Уравнение динамики вращательного движения (1) примет вид:
или
Это уравнение гармонических колебаний с периодом равным
Расчетная формула для момента инерции имеет
,
,
мм.
(3)
В работе измеряют период колебаний стола и период колебаний стола с телом . Вычисляют момент инерции стола и момент инерции стола с телом по формуле (3). Вычисляют момент инерции тела по формуле
(4)
В упражнении 1 телом является прямоугольный параллелепипед (рис.1). Определив его момент инерции по формуле (3) необходимо сравнить со значением , полученным по формулам (1).
В упражнении 2 телом являются два цилиндра. Определив момент инерции этого тела по формуле (4) необходимо сравнить со значением, полученным по формуле
(5)
где
и
- главные моменты инерции первого и
второго цилиндров, которые рассчитываются
по формуле (2).
г,
г
– массы первого и второго цилиндров.
- расстояние от
главной оси цилиндра до оси вращения.
Радиусы цилиндров одинаковы и равны
мм.
Порядок выполнения лабораторной работы.