2.3. Изгиб

2.3.1. Типы брусьев и опор

Плоский изгиб. Рассмотрим брус ци­линдрической или призматической фор­мы с прямолинейной осью. Брус испы­тывает плоский изгиб, если силы и мо­менты, изгибающие брус, расположены в плоскости, проходящей через его про­дольную ось и содержащей одну из глав­ных центральных осей инерции сечения.

Горизонтальный брус, закрепленный на опорах и испытывающий деформацию изгиба, называется балкой. Различают статически определимые и статически неопределимые брусья. Встречаются три типа статически определимых брусьев: шарнирно опертый (рис. 2.3.1, а), кон­сольный (рис. 2.3.1, б) и консоль (рис. 2.3.1, в). На рис. 2.3.1, г показан сложный статически неопределимый двухпролетный брус.

О порные реакции. Различают три ос­новных типа опор: 1) шарнирно-подвижная опора А (рис. 2.3.1, д) может воспри­нимать вертикальную нагрузку и на ней, следовательно, возникает только вер­тикальная реакция; 2) шарнирно-неподвижная опора В (рис. 2.3.1, е) может воспринимать как горизонтальные, так и вертикальные усилия; 3) жесткое за­щемление С (рис. 2.3.1, ж) воспринимает вертикальную и горизонтальную на­грузки, а также моментную нагрузку.

Под действием внешних нагрузок в местах закрепления бруса возникают опорные реакции.

Рис. 2.3.1. Расчетные схемы и опорные закреп­ления брусьев при их изгибе

Для определения опор­ных реакций в статически определимом брусе достаточно

составить три уравнения статики. Введем обозначения: Р — сосредоточенная си

ла; q — интенсив­ность распределенной нагрузки; М_е— сосредоточенный момент внешних сил (рис. 2.3.1, б). При отыскании опорных реакций распределенную нагрузку q за­меняют равнодействующей сосредото­ченной силой. Для статически неопреде­лимого бруса также можно записать три уравнения статики, однако их число окажется меньше числа разыскиваемых опорных реакций. Поэтому при отыска­нии опорных реакций в статически не­определимом брусе необходимо соста­вить уравнения совместности деформа­ций, дополняющие уравнения статики.

2.3.2. Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов

Изгибающий момент. Рассмотрим брус (рис. 2.3.2, а), находящийся в равнове­сии под действием четырех сил, каждая из которых равна Р. Исследуем внут­ренние силы упругости, действующие по произвольному сечению т — т на участ­ке ВС. Применим метод сечений. Если пре­небречь силами веса, то уравнения рав­новесия для части бруса, лежащей слева от сечения т — т (рис. 2.3.2, б), за пишутся в виде (2.3.1)

где N _x и Q_y — проекции главного век­тора внутренних сил упругости на оси Ох и Оу соответственно; М_z — момент внутренних сил упругости, действую­щих по сечению т — т со стороны пра­вой части бруса на левую.

И з третьего уравнения системы (2.3.1) следует, что внутренние силы упругос­ти, действующие по поперечному сече­нию, расположенному на участке ВС, должны сводиться к моменту, равному по величине моменту Ра внешних сил, действующих по одну сторону от рас­сматриваемого сечения. Момент внут­ренних сил упругости относительно оси Оz (нейтральная ось), проходящей через центр тяжести рассматриваемого сече­ния, численно равный моменту внеш­них сил, приложенных к брусу по одну сторону от данного сечения относитель­но этой же оси, называется изгибающим моментом.

Рис. 2.3.2. Изгибающий момент и поперечная сила при изгибе

Таким образом, на участке ВС изгибающие моменты, действующие в различных сечениях, численно равны одному и тому же значению Ра. Нагружение бруса двумя равными моментами, действующими в одной центральной плоскости и приложенными по концам его, называется чистым изгибом.

Поперечная сила. Иное положение на участках бруса АВ и CD. Проведем сечение п — п на участке АВ. На часть бруса, лежащую слева от этого сечения, со стороны правой части действуют внутренние силы упругости, которые, как известно, сводятся к изгибающему моменту М_z и поперечной силе Q_y (рис. 2.3.2, в). Условия равновесия для этого случая принимают вид

-P + Q_y = 0;

N_x = 0; (2.3.2)

Рх — Мz = 0.

Таким образом, для сечения п — п, произвольно взятого на участке АВ, внутренние силы упругости сводятся к изгибающему моменту М_г = Рх и рав­нодействующей внутренних сил упру­гости Q_y = Р.

Равнодействующая внутренних сил упругости, действующих по данному сечению, численно равная сумме проек­ций на вертикальную ось всех внешних сил, действующих по одну сторону от сечения, называется поперечной (пере­резывающей) силой. В дальнейшем по­перечную силу и изгибающий момент будем обозначать Q_y и M_z.

Е сли в произвольном поперечном се­чении бруса совместно действуют изги­бающий момент и поперечная сила, то вид нагружения в этом случае называ­ется поперечным изгибом.

Изгибающие моменты будем считать отрицательными, если они изгибают брус выпуклостью вверх (рис. 2.3.3, а), поло­жительными — если выпуклостью вниз (рис. 2.3.3, б). Поперечную силу Q_y ус­ловимся считать положительной, если равнодействующая внешних сил, дей­ствующих слева от сечения, направлена вверх, а справа — вниз (рис. 2.3.3, б).

Рис. 2.3.3. Правило знаков для изгибающего мо­мента и поперечной силы

Построение эпюр. Графики изменения поперечных сил и изгибающих моментов вдоль центральной оси бруса называются эпюрами. При построении эпюр попереч­ных сил и изгибающих моментов в боль­шинстве случаев следует начинать с оп­ределения реакций опор.

Определив реакции, брус следует раз­бить на участки, на протяжении которых нагрузка однородна. Для каждого уча­стка составляют общие выражения для поперечной силы и изгибающего момен­та, для чего рассматривают произ­вольное сечение в пределах данного уча­стка, и строят эпюры, давая аргументу х произвольные значения в пределах того же участка.

Порядок построения эпюр рассмотрим на примере шарнирно опертого бруса, нагруженного сосредоточенной силой (рис. 2.3.4, a). Из уравнения равновесия бруса

находим реакцию на левой опоре.

R_A =Pb / l.

И з второго уравнения равновесия най­дем реакцию на правой опоре R_B = .

Брус содержит два участка (АС и СВ) с однородной нагрузкой.

Рис. 2.3.4 Схема нагружения и эпюры попереч­ной силы и изгибающего момента шарнирно опертого бруса

На первом участке АС общие выражения для по­перечной силы и изгибающего момента следующие:

Отсюда следует, что поперечная сила в пределах участка сохраняет постоян­ное значение, а изгибающий момент из­меняется по линейному закону от

М_z (0) = 0 до М_г (а) = Pba/l на границе участка в точке С.

На втором участке СВ общие выраже­ния для произвольно взятого попереч­ного сечения

т. е. поперечная сила имеет постоянное значение, а изгибающий момент убывает

по линейному закону от М (а) = в начале участка (точка С) до нуля (в точке В при х = l).

Следовательно, эпюра поперечной си­лы (рис. 2.3.4, б) на границе участков в точке, где приложена сосредоточенная сила Р, имеет скачок на величину Р, т. е. функция Q (х) терпит разрыв перво­го рода. Изгибающий момент М (х) на первом участке увеличивается, а на вто­ром уменьшается (рис. 2.3.4, в). В точке приложения сосредоточенной силы эпю­ра изгибающего момента имеет излом.

Иначе говоря, производная пре­терпевает разрыв в точке С.

Рассмотрим далее консоль, нагружен­ную равномерно распределенной нагруз­кой (рис. 2.3.5, а). Использовав условия равновесия, определим опорные реак­ции. Из условия находим, что ; условие дает R_A = ql.

Так как нагрузка на данный брус однородна на всем пролете, то выраже­ния для поперечной силы и изгибающего момента в произвольном сечении будут следующие:

Рис. 13.5. Схема нагружения и эпюры попереч­ной силы и изгибающего момента консоли

Из полученных выражений следует, что поперечная сила уменьшается пс линейному закону от Q_y (0) = ql в месте защемления консоли до Q_y(l) = 0 на конце ее (рис. 2.3.5, б). Изгибающий момент изменяется по закону квадрат­ной параболы от значения М_г (0) = в опорном сечении до М_г (l) = 0 в концевом (рис. 2.3.5, в). В этом случае строить эпюры Q_y и М_г можно, помещая начало координат в крайнем правом кон­цевом сечении, что не потребует предва­рительного определения момента и ре­акции в заделке.