1.7. Напряженное состояние в точке

Вырежем около анализируемой точки D сечения тела эле­ментарный параллелепипед (рис. 1.8 а), оси которого (рис. 1.8 б) ориентированы так же, как и оси х, у, z, по которым раскла­дывались главный вектор и главный момент внутренних сил в сечении, т.е. грани параллельны координатным плоскостям.

На гранях элементарного параллелепипеда внутренние уси­лия ввиду малости площадок можно считать равномерно рас­пределенными в пределах каждой грани. По определениям (1.3) и (1.4) внутренние равномерные усилия на элементарных гранях считаются напряжениями в точке. Разложив дополни­тельно касательные напряжений на гранях по осям коорди­нат, получим систему напряжений в точке (у касательных на­пряжения первый индекс указывает ось, перпендикулярно которой расположена площадка, второй — ось, параллельно которой действует напряжение σ_х, σ_у, σ_z, τ_ху, τ_ух, τ_zx, τ_хz, τ_уz, τ_zу.

Рис. 1.8.

Элементарный параллелепипед около точки D — a; система напряжений на его гранях — б

При изменении ориентации параллелепипеда около выбран­ной точки D (например, поворота) по его граням будет действовать другая система напряжений, значения которых могут быть пересчитаны через старые, что является следствием из поня­тия напряжения в точке как тензорной величины.

Так как мысленно вырезанный из тела параллелепипед по предположению находится в равновесии под действием систе­мы напряжений в точке, то суммы проекций всех сил на оси координат и суммы моментов всех сил относительно коорди­натных осей должны быть равны нулю. Из этого следует:

во-первых, нормальные напряжения на противоположных гранях равны и противоположно направлены;

во-вторых, на взаимно перпендикулярных площадках ко­ординатные составляющие касательных напряжения равны и направлены либо к смежному ребру либо от него. Последнее положение носит название закона парности касательных на­пряжений.

Окончательный вид симметричного тензора напряжений в точке записывается как

( σ_x τ_xy τ_xz)

{T}= ( τ_xy σ_y τ_yx ) , (1.7)

(τ_zx τ_zy σ_z)

где τ_xy =τ_yx , τ_zy = τ_yz , τ_xz = τ_zx .

По данной совокупности значений компонента тензора на­пряжений судят о прочности конструкции в точке.

1.8. Физическая взаимосвязь напряжений и деформаций

Связь между перемещениями и деформациями впервые была сформулирована Робертом Гуком в конце XVII века. В со­временной интерпретации закон Гука или гипотеза упругости (см. раздел 1.3) устанавливает линейную зависимость между деформациями тела в каждой его точке и напряжениями в той же точке. Коэффициенты пропорциональности в этой зависи­мости представляют собой физические константы материала, из которого выполнена конструкция, и определяются экспери­ментально.

В соответствии с законом Гука указанная прямо пропорцио­нальная зависимость справедлива как при возрастании, так и при убывании нагрузки, что дает основание говорить об упругих свой­ствах тел, подчиняющихся этому закону. Закон Гука является приближенным. Для большинства конструкционных материалов (например, стали) он выполняется в определенных пределах уров­ня напряжений достаточно точно. Для чугуна и ряда строитель­ных материалов существенные отклонения от линейной зависи­мости проявляются уже при небольших значениях напряжений. Аналитический вид закона Гука будет рассмотрен после анализа основных видов напряженного состояния в точке.