3.4. Методика определения геометрических характеристик сечения

Рис. 3.8. Расчетная схема составного сечения

Пусть поперечное сечение балки состоит из прямоугольни­ка и неравнобокого угольника (рис. 3.8). Геометрические ха рактеристики уголка принимаем по ГОСТ 8510-86 : 100x63x10. В расчётах принимаем:

J_x1 =153,95 см⁴ = 154 см⁴; J_y1= 47,18 см⁴ 47,2см⁴ ; А₁ 15,5 см² ;

tga₂ =0,387; J_y3 28,3 см⁴.

Решение:

1. Для первого элемента сложного сечения (уголок) геометрические характеристики заданы.

Считаем площадь прямоугольника А₂ = 40*140 = 5600 мм² = 56 см². Перевод в размерность сантиметров объясняется тем, что в таблицах сортамента размерность аналогичных характе­ристик — см², см³, см⁴. Моменты инерции прямоугольника от­носительно его собственных центральных осей:

.2.

Во вспомогательных осях uOv определяем положение цен­тра тяжести поперечного сечения (4.11):

;

Здесь u₁ = 40 + 15,8 = 55,8 мм = 5,58 см, и₂ = 20 мм = 2 см, v₁ = 140 - 34 = 106 мм = 10,6 cм, v₂ = 70 мм = 7 см.

Координаты центра тяжести сечения отложены в сантимет­рах, через центр тяжести составного сечения (т. С) проводим центральные оси сечения х₀Су₀ .

3. Вычисляем осевые и центробежные моменты инерции от­носительно центральных осей х₀Су₀:

= 154+2,82^2*15,5+914,7+0,78²-56 = 1226,1cм⁴.

Здесь

a₁ = 14-7,78-3,4 = 2,82 см; а₂ =7,78-7 = 0,78 см.

= 47,2+2,82²*15,5+74,7+0,78²*56 = 277,5см⁴. Здесь

b₁ =4- 2,78 + 1,58 = 2,8см; b₂ = 2,78 -2 = 0,78см.

Для определения центробежного момента инерции не­обходимо предварительно подсчитать центробежный момент инерции уголка относительно собственных центральных осей О₁x₁ и O₁y₁ (для прямоугольника соответствующий центробеж­ный момент инерции J_X2y₂ равен нулю, поскольку собственные оси прямоугольника 0₂х₂ и 0₂у₂ есть главные центральные). Из формулы (3.26) момент инерции сечения для оси у₃, поверну­тых относительно центральных осей х_г0у₁ на угол (-а₂) имеем:

,

откуда ,

т. к. a₂ = arctg0,387 = 21°10'= 0,3611, cos21°10' = 0,9325, sin42°20' = 0,8734.

Подставим эти значения:

* 0,6734 = 154* 0,13+47,2*0,87-28,3.

Окончательно = 48,6 см⁴, тогда центробежный момент инерции всего составного сечения , определяется как

= ⁺a₁b₁A+J_X1y1 +a₂b₂A₂ = 48,6+(2,82)* (2,8)15,5 + 0+(-0,78)* (-0,78)56 =

= 48,6+22,4+43,7 = 214,7 см⁴.

Здесь а₂ и b₂ отрицательны (схема расчета на рис. 3.8).

4. Определяем положение главных центральных осей слож­ного сечения хСу:

,

откуда 2а₀ = -24°20'; а₀ = -12°10' (рис. 3.8).

Максимальный момент инерции, очевидно, будет относи­тельно оси Сх, т. к. площадь сложного сечения конструктивно сильнее разнесена именно относительно этой оси. Площадь со­ставного сечения как бы «прижата» к главной центральной оси Су, поэтому относительно этой оси главный центральный момент инерции имеет наименьшую величину.

5. Вычисляем главные центральные моменты инерции по формулам (3.35):

.

Вывод. Наиболее сильное сопротивление изгибу балка бу­дет оказывать в плоскости yCz (J_y = J_max), а самое слабое — в плоскости xCz(J_y =J_min), ось Cz совпадает с осью балки.

Проверка правильности расчетов: необходимо, чтобы J_x+J_y =J_x0+J_y0 :

J_x+J_y = 1523,75 + 249,75 = 1503,5 см⁴;

J_x0+J_y0 = 1226,1+277,4 = 1503,5 см⁴,

т. е. вычисления проведены верно.