4.1 Матрична форма моделі множинної регресії

В практиці розрахунків коефіцієнтів множинної регресії часто використовується матрична форма запису рівняння регресії.

В цьому випадку для уніфікації запису рівняння регресії у перший доданок формули (4.5) уведемо штучну змінну х₀=1=const.

При оцінці параметрів цього рівняння в кожному і-му спостереженні фіксують значення у_і і х_ji (i=l,n; j=l,m). Значення результативної змінної y, розрахованої по моделі (4.5), позначимо через . Тоді похибка моделі в i-му спостереженні буде дорівнювати E_i=y_i- ' з математичним сподіванням, рівним 0 і дисперсією , як це було показано вище.

Рівняння регресії між векторами значень Y і незалежних змінних Х записуємо в матричній формі як

µ= Х×А, (4.'

де Х={ху} - матриця значень незалежних факторів (змінних) розмірності

(n×(т+1)) (нагадаємо, що х_і0= 1 (і= 1,n);

µ ={у_i} - вектор стовпець оцінок у і розмірністю (n×1);

А={a_j} - вектор невідомих параметрів моделі, розмірністю (1 × (m+1)) (нагадаємо, що мається також вільний член а_о)

При прийнятих позначках вектор експериментальних значень Y розмірністю (п× 1) може бути представлений у виді

Y= µ +E=XA+E (4.12)

де Е={e_i} вектор помилок моделі розмірністю (п× 1). Очевидно (див. 4.12), що E=Y-XA

Нагадаємо деякі властивості матриць:

(А + В)(С + D)=AC+AD+BC+BD; ( А+В)^T =А^Т +В^Т; (А×В)^T =В^Т -А^т;

А В =C A=B^-1C;

(A^T)=A^T; E^T=E; A^-1A =||a_ij|| = А²;

A^-1=1/_A||A_ij||; де А^-1 'зворотна матриця, _A - визначник матриці А;

A_ij - алгебраїчне доповнення до мінору a_ij.

З використанням зазначених властивостей матриць запишемо суму квадратів відхилень:

U =  =E^TE=(Y-XA)^T(Y-XA) = Y^TY-A^T X^TY-Y^TXA + A^TX^TXA =>

U = Y^TY - 2A^TXTY + A^TX^TXA

Диференціюючи по А і прирівнюючи отриману похідну до нуля, одержуємо

du/dA=-2X^TY+2(X^TX)A=0

звідси: X^TY=X^TXA=(X^TX)^-1(X^TY) (4.13)

Таким чином, матриця параметрів моделі рівняння множинної регресії, що забезпечують мінімум СКО, може бути отримана безпосередньо з експериментальних даних.

Конкретизуємо величини, що входять до формули (4.13):

1,X₁₁,X₁₂,…X_1m

1,X₂₁,X₂₂,…X_2m

X= ……………..

1,X_n1,X_n2,…X_nm

тобто кожен рядок являє собою вибірку т незалежних змінних, крім x₀=l=const.

n, X_i1,… X_im

X_i1, X_i1².. X_i1X_im

XX^T= ……………..

X_im,X_i1X_im,…X_1m²

Y_i

Y_iX_i1

X^TY= ……

Y_iX_im

Підсумовування кожного елемента зазначеного в матриці здійснюється по кількості спостережень N.

4.2 Приклад побудови рівняння множинної регресії

Нехай досліджується залежність валового доходу від різних факторів. Приймемо гіпотезу про те, що валовий доход (у) залежить від обсягу основних фондів (x₁) і величини обсягу оборотних коштів (х₂). При цих припущеннях визначимо коефіцієнти моделі множинної регресії виду

y=a₀+a₁x₁+a₂x₂

і оцінімо якість отриманої моделі. Для цього використаємо експериментальні дані значень у_i; х_1i; х_2і i = (1,…19), які отримані по 19 магазинах аналогічного профілю (див. таблицю 4.2) Отже, згідно таблиці 4.2: n=19; m=2; =95,489; x^c=71,689; х, =51,583.

Таблиця 4. 2. Дані експериментальних обстежень 19 магазинів

Номер магазину	yi			µ		х1i		х2і
1	203,4			186,95		119,0		105,4
2	63,3			93,95		28,1		56,0
3	36,1			59,45		15,9		35,0
4	34,4			66,19		36,8		36,8
5	45,9			89,18		17,5		54,2
6	113,7			109,52		50,3		63,4
7	121,8			54,5		55,9		26,8
8	70,8			73,96		26,1		43,2
9	87,8			69,27		21,6		40,7
10	75,8			109,53		25,4		66,5
11	49,0			44,53		17,2		25,10
12	111,8			108,76		119,6		54,3
13	96,4			90,635		124,2		41,9
14	80,0			80,11		114,8		36,2
15	88,9			111,1		166,5		50,0
16	75,2			111,98		109,5		58,4
17	61,8			95,23		141,1		42,8
18	237,7			195,64		154,2		106,7
19	160,5			63,83		24,4		36,8
Разом	yi =1814.3					xi1=1368.1		xi2=980.2
Середні значення	95,480					72,005		51,589

Далі розраховуємо значення квадратів х, добутків ху та х₁х₂, їх суми для підстави у відповідні комірки матриць.

З аписуємо матриці вхідних та допоміжних змінних (згідно матричних рівнянь):

1 119 105,4 203.4 1 1 … 1

X= 1 28,1 56.0 ; Y= 63.3 ; X^T= 119 28,1 24.4 ;

……………. ……. 105,4 56.0…36.8

1 24.4 36.8 160.5

19*3 19*1

19 1368.1 980.2 1814.3

X^TX= 1368.1 151511.1 79754 ; X^TY= 154520.6 ;

980.2 79754 59570.9 109132.4

Зворотна матриця (X^TX)^-1 має вид: (X^TX)^-1=1/ _X^T_X ||A_ij||=

0,35690 0,44*10^-3 -0,0053

= 0,44*10^-3 0,23*10^-4 -0,2*10^-4 ;

-0,0053 -0,2*10^-4 0,13*10^-3

В ектор коефіцієнтів дорівнює:

0,35690 0,4307*10^-3 -0,0053 1814.3 2.794

A=(X^TX)^-1(X^TY)= 0,4307*10^-3 0,23*10^-4 -0,2*10^-4 x 154520.6 = 0.19

-0,0053 -0,2*10^-4 0,13*10^-3 109132.4 1.532

Отже: а₁=0.19; а₂=1.532; а₀=2.794

Тоді рівняння набуде виду:

y=2.794+0.19x₁+1.532 x₂