Образец выполнения задания
Задача 1. Укажите все случаи использования законов сложения целых неотрицательных чисел при вычислении значения выражения: 399+ 138+473=399+473+138==399+(1+472)+138=(399+1)+(472+138)=400+610=1010.
Решение. Переход от выражения 399+138+473 к выражению 399+473+138 осуществлен на основании коммутативного закона сложения. Следующее тождественное преобразование — представление числа 473 в виде суммы 1 +472 — возможно в силу единственности суммы двух данных чисел. Замена выражения 399+(1 +472)+138 выражением (399+1)+(472+138) осуществлена на основе ассоциативного закона сложения.
Задача 2. Вычислите значение выражения 125*15*6*8 рациональным способом и укажите все случаи использования законов сложения и умножения.
Решение. На основании коммутативного закона умножения переставим местами множители 15 и 6: 125*15*6*8=125*6*15*8. На основании
ассоциативного закона умножения выделим в полученном произведении группы по два множителя: 125*6*15*8 = (125*6)*(15*8). Произведем умножение чисел в скобках: (125*6)*(15*8) ==750*120. Чтобы найти произведение 750*120, представим 750 в виде суммы двух слагаемых 700 и 50: 750*120 = (700+50)*120.
Согласно дистрибутивному закону умножения относительно сложения умножим каждое слагаемое на 120: (700 + 50)*120 = 700* 120+50* 120. Далее произведем вычисления и получим: 700*120+50*120 =84 000+6 000 =90 000.
Значение выражения 125*156*8 можно найти иначе: 125*15х6*8=125*(15*6) *8=125*90*8=125*8*90=(125*8)*90=1000*90=90000. В данном случае при выполнении преобразований были использованы:
— ассоциативный закон умножения (т. е. сначала выделены группы множителей 15*6, затем 125*8);
— коммутативный закон умножения (т. е. переставлены множители 90 и 8). Из приведенных способов нахождения значения выражения 125*15*6*8,
очевидно, наиболее рациональным является второй (т. к. он короче и проще промежуточные вычисления).
Тема 4. Свойства сложения и умножения в начальном курсе математики
Задачи 4.1—4.10 взяты из учебников математики для начальных классов. Дайте обоснование приведенных в них преобразований, используя язык вузовского и начального курсов математики.
Объясните решение: 36+7==36+(4+3)==(36+4)+3=43.
Объясните, как выполнено сложение двузначных чисел: 3 2+46=(3 0+2)+(40+6)=(3 0+40)+(2+6)=70+8=78.
Объясните способ решения примера:
250 + 30 = (200 + 50) + 30 = 200 + (50 + 30) = 200 + 80 = 280.
4.4. Объясните решение: 27+18=27+(3+15)=(27+3)+15=45.
Как иначе можно решить этот пример?
4.5. Объясните решение примера:
430 + 260 = 430 + (200 + 60) = (430 + 200) + 60 = 630 + 60 = 690.
4.6. Почему верно следующее равенство: 3+(9+27)=30+9? Объясните.
Объясните, как можно умножить двузначное число на однозначное: 23.4 = (20+3)*4=20*4+3*4=80+12=92.
Объясните решение примера: 5*14=5* (10+4)=5*10+5*4=70.
Объясните прием вычисления:
426*3=(400+20+ 6)*3=400*3+20*3+6*3 =1200+60+18=1278.
4.10. Объясните разные способы решения:
а) 15* (4*3)=15*12=180;
б) 15* (4*3)=(15*4) *3=180;
в) 15* (4*3)=(15*3)*4=45*4=180.
Методические рекомендации
В начальном курсе математики свойства действий над целыми неотрицательными числами либо изучаются в явном виде (переместительные законы сложения и умножения), либо неявно используются в различных правилах (прибавление числа к сумме, суммы к числу, умножение числа на сумму и др.). В связи с этим учителю необходимо видеть разные уровни использования свойств действий над числами, уметь устанавливать взаимосвязи между школьным и вузовским курсами математики в области изучения (и использования) этих свойств.
Для решения задач данной темы необходимо знать свойства действий над числами и уметь обосновывать проводимые преобразования, используя язык вузовского и начального курсов математики.
Образец выполнения задания
Задача. Объясните решение примера:
35+21=(30+15)+(20+1)=(30+20)+(5+1)=56.
Решение. Дадим обоснование приведенным преобразованиям на языке
вузовского курса математики
1
. Переход
от выражения 35+21 к
тождественно
равному выражению
(30+5)+(20+1)
осуществлен на основе
способа
записи чисел в десятичной
системе
счисления.
2. Замена выражения (30+5)+(20 + 1) основе представления выражением (30 +20) +(5 + 1) осуществлена на основе коммутативного и ассоциативного законов сложения. Действительно, (30+5)+(20+1)= ассоц. 30+5+20 +1 = коммут. 30+20+5+1ассц. (30+20) + (5+1)=50+6=56
начального курса математики
Переход от выражения 35+21 к тождественно равному выражению (30+5)+(20+1) выполнен на основе представления чисел 35 и 21 в виде суммы разрядных слагаемых. 2. Замена выражения (30+5) + (20+1) выражением (30+20) + (5+1) выполнена на основе правила прибавления суммы к сумме.