I. Составление дифференциальных уравнений и определение передаточных функций

I.I. Объекты регулирования

Объекты регулирования являются теми основными динамическими элементами систем, в которых с помощью управляющих устройств должны поддерживаться заданные режима работы. К ним относятся различные машины и установки, управляемые регулирующими органами. Обычно регулирующие органы представляют собой часть объекта: в паровых машинах - вентили, в самолетах - рули, в турбинах -направляющие водяного потока, в электрических двигателях - обмотки якоря или статора.

В теории автоматического управления [4] применяют несколько способов составления уравнений динамики объектов управления. Первый способ - когда дифференциальные уравнения составляются аналитически на основе анализа физических процессов, которые могут происходить в объекте управления; второй - с помощью экспериментально определенных статических и динамических характеристик объекта, представленных в виде графиков; третий - по данным таблиц, полученных экспериментальным путем, о последующей обработкой методами регрессионного анализа; четвертый способ основан на использовании аналогового или цифрового моделирования.

Порядок уравнений динамики объектов зависит от сложности процессов, протекающих в них, и от принятых допущений.

1.2. Математические модели объектов управления [2]

Математические модели объектов управления представляют собой уравнения динамики, записанные в виде дифференциальных уравнений различного порядка в линеаризованной виде. Дифференциальные уравнения, как правило, составляется отностельно входных и выходных сигналов объекта управления и могут быть представлены в различных формах [2] , т.е. в виде общего дифференциального уравнения

a₀ +a₁ +… +a_n-1 + a_ny(f) =

= b₀ +b₁ +… +b_m-1 + b_mg(t) (1)

разрешены относительно старшей производной

либо путем ввода новых переменных - переменных состояния системы, представлены как система дифференциальных уравнений первого порядка

(2)

или в векторно-матричном виде

(3)

Однако часто параметры математических моделей неизвестны, и для их определения требуется проводить экспериментальные исследования на реально-существующих объектах управления используя методы активного и пассивного эксперимента и регрессионного анализа, и последнее время для определения неизвестных параметров объекта используются методы идентификации.

Рассмотрим применение метода регрессионного анализа для линейного дифференциального уравнения первого порядка

для начальных условий X(t₀) и Y(t₀) решение запишется в виде

(4)

Положим, что t = t₀ +t, тогда из выражения (4) можно получить разностное уравнение

(5)

где x_n, y_n соответствуют моменту времени t₀+nt, a y_n+1 - моменту времени

Коэффициента А и В определяется о помощью зависимостей

(6)

В соответствии с (5) значение выходного сигнала найдем по величинам входного и выходного сигнала в предыдущий момент времени:

Коэффициенты А и В подбираются таким образом, чтобы предсказываемая величина

как можно меньше отличалась от измеренного значения y_n+1, для чего введём функцию ошибки  в виде

(7)

где N - число измерений, произведенных через равные промежутки времени t.

М инимизируя по А и В из условий получим систему уравнений

(8)

и ли в матричной форме

A

 = (9)

B

из которых определяем

(10)

Используя выражения (5), (6), (10) определим параметры K₀ и T₀,

(11)

Пусть результаты измерений имеют вид (t = 60сек)

t	x	y	t	x	y	t	x	y
0 60 120	49,1 50,1 49,9	44,6 45,2 46,6	180 240 300	50,1 49,6 46,0	47,1 47,5 47,8	360 420 480	45,2 44,9 45,1	46,9 46,2 45,5

Используя ( 10 ), определим коэффициенты А и В

A= =0,699 B= =0,274

Параметры передаточной функции будут

K₀= T=

Во многих практических задачах приходится определять передаточную функции динамического элемента по импульсной переходной функции, которая может быть получена аналитически или экспериментально [ 4 ] .

Известно, что

или

Представим импульсную переходную функцию в виде суммы элементарных трапецеидальных функций

где

при t<t_i - _i

_0i = при t_i - _I < t < t_i+_i

0 при t > t_i+_i

Для каждой трапецеидальной функции определяем

(12)

(13)

Целесообразно выбрать шаг аппроксимации 2_i равным для всех трапеций. При этом можно воспользоваться табличными функциями и .

Таким образом определяется

что дает

Пусть (t) , получаемая экспериментально, имеет вид ( рис. 2. ). Разобьем ее на 6 трапеций.

Параметры	Номер трапеции
	1	2	3	4	5	6
	0,393 0,25 0,25	0,237 0,25 0,75	0,145 0,25 1,25	0,095 0,25 1,75	0,08 0,5 1,75	0,05 0,5 3,5

Вычисляя V_i(), U_i() по формулам (12), (13) построим графики элементарных частотных характеристик (рис.3). Суммируя вещественные и мнимые частотные характеристики по воем трапециям, получим вещественную U() и мнимую V() характеристики объекта управления.

Перестроив эти характеристики в логарифмические частотные характеристики и производя аппроксимацию отдельных участков асимптотами с наклонами кратными 20дб/дек получим значение параметров передаточной функции объекта управления (рис.4)

1.3. Расчет параметров и составление уравнений двигателя постоянного тока

Наибольшее использование в САУ, работающих на постоянном токе, имеет двигатели с независимым возбуждением. Такие двигатели, управляемые путем изменения напряжения на якоре, позволяют получить широкий диапазон регулирования скорости вращения, благодаря чему широко применяется в качестве исполнительных элементов в регулируемом приводе многих производственных механизмов и в силовых следящих системах [1].

Принципиальная схема двигателя постоянного тока с независимым возбуждением показана на рис. 5

Рассмотрим статический режим работы двигателя. В этом случае без учета реакции якоря для двигателя можно записать:

U_g = l_g + r_яi_я, (14)

L_g = C_eФ_вn, (15)

U = C_мФ_мi_я, (16)

где U_g — напряжение на якоре двигателя [В]; i_я — ток якоря [A]; r_я — сопротивление цепи якоря [0м]; l_g — эдс вращения [В]; Ф_В — поток возбуждения [B_]; U — скорость вращения двигателя [об/мин]; М - момент, развиваемый двигателем [H.M].

(17)

конструктивные постоянные, зависящие от P — числа пар потоков двигателя, N — число активных проводников якоря (равно удвоенному числу витков обмотки якоря w_я), а — число пар параллельных ветвей обмотки якоря.

В установившемся режиме момент двигателя уравновешивается приведенным к валу статическим моментом сопротивления рабочего механизма М_с, т.е. М=М_с

Из (14), (15), (16) получим уравнение механической характеристики двигателя

или (18)

где — скорость холостого хода (М=0, i_g=0)

—снижение скорости под нагрузкой.

При Ф = const, U_g = const механические характеристики выражаются уравнением прямой (рис.6а).

Конструктивные постоянные двигателя можно определить по его номинальным данным. Из уравнения (17), (18)

или

где

Р_ном — номинальная мощность на валу двигателя [вт]

Составим уравнение динамики двигателя в отклонениях при Ф_в = const, не учитывая для упрощения реакцию якоря.

За входную величину примем напряжение на якоре, а за выходную — скорость вращения.

Рассмотрим случай, когда момент сопротивления на валу двигателя не зависит от скорости вращения.

Введем обозначения:

С_l Ф_в =С_еg; С_м Ф_в = С_мg

Для цепи якоря, учитывая, что lg = C_egn, при нулевых начальных условиях запишем

(19)

Динамический момент двигателя ,где

_g — угловая скорость. Заменим _g на n(об/мин). Тогда уравнение равновесия моментов принимает вид:

(20)

где I=I_g+I_нпр — момент инерции на валу двигателя (кг.м²); I_g — момент инерции якоря двигателя; I_нпр=K_p²I_H — момент инерции нагрузки, приведенный к валу двигателя (К_р- коэффициент передачи редуктора ).

Так как M(t) = C_нgI_g(t), то после подстановки и совместного решения получим уравнение двигателя;

(21)

Из (21) найдем I_z и подставим в (19):

Обозначим

представим

После таких подстановок получим дифференциальное уравнение двигателя по скорости:

(22)

Используя преобразование Лапласа при нулевых начальных условиях получим

(T_zT_emS²+T_mS+1)U(S)=K_gU_g (S) – (T_z S+1)K_gb M_c (t) (23)

Приведем некоторые выражения для определения параметров двигателя. Так, индуктивность якоря L_я можно приближенно определить по формуле

[гн]

где  = 0,25 +0,6 (нижнее значение принимается для компенсированных машин,

верхнее — для некомпенсированных).

Электромеханическая постоянная времени Т_эм

где — падение скорости двигателя в номинальном режиме.

При конструировании двигателя стремиться выполнить соотношение Т_эм > 4Т_я, так как, в противном случае, двигатель будет обладать колебательными свойствами. При этом уравнение (10) можно представить в виде

(T₁ S +1)(T₂ S+1)U(S)=K_gU_g (S) – (T_z S+1)K_gb M_c (S)

где

(24)

Если Т_эм >> Т_я, то пренебрегая величиной Т_я, переходим к приближенному уравнению первого порядка

(T_emS+1)U(S)=K_gU_g (S) – K_gb U (S)

Часто за выходную величину двигателя принимается угол поворота вала (рад). При этом, учитывая, что

_g(s)=1/S _g(S), a _g[рад/сек]=1/9,55 U[об/мин]

получим при U_c=0

(T_em S+1)S(S)=(K_gb /9,55)U_g(S) = KU_g (S)

Рассмотрим технические данные двигателя постоянного тока серии П-22 (U_HOM=1500 об/мин; U_HOM=220 B; P_HOM=1 кВт; I_HOM=5,9 A; =77%; 2 = 2; 2a=2; _z=864; r_в = 712 ом; r_z=4,17 ом; r_cт=0,25 ом; GD²=0,055 кг*м²) при I_{н пр} =0,014 кг*м².

Определим

Принимаем =0,3, находим

Момент инерции на валу двигателя

I = I_д+I_{н пр} =0,0138+0,014  0,028 н*м²

Тогда

1.4. Расчет параметров и составление уравнения гидравлических серводвигателей [2]

Гидравлические серводвигатели выполняют с поступательно движущимся поршнем (рис. 7, а) или с поворотной лопастью (рис, 7,б). В качестве источников питания для гидравлических двигателей применяют, насоси, компрессоры, гидроаккумуляторы.

Составим упрощенную эквивалентную схему ( рис. 8), на которой золотник заменен двумя задвижками n и m, жестко связанными между собой. Схема изображает работу серводвигателя при движении поршня вверх.

Обозначим Р₀ — давление в напорной трубе; Р₁, Р₂ — давление масла в нижней и верхней полостях серводвигателя; P_а — давление на сливе.

Составим уравнение расхода масла, протекающего через дросселируемое отверстие:

(26)

где  — коэффициент расхода масла при полностью открытых отверстиях; Х_K — перемещение золотника; b — ширина отверстия, q — ускорение свободного падения.

Уравнение расхода масла, вытекающего через сливное отверстие

(27)

Уравнение расхода масла для нижней полости

Q₁ =Q_гц +Q_с1 (28)

для верхней полости

Q₁ =Q_гц +Q_с1 (29)

где Q_гц —расход масла через гидравлический цилиндр, затрачиваемый на перемещение поршня; Q_c1, Q_c2 — количество масла, расходуемого на сжатие (расширение).

Расход масла через гидравлический цилиндр определяется по следующей формуле:

(30)

Где F—площадь цилиндра; —скорость перемещения потока.

Определим Q_c1 и Q_c2 для чего введем понятие о коэффициенте объемного сжатия

(31)

где V - уменьшение объема масла при увеличении давления на Р .

Количество сжатой жидкости

(32)

Переходя от приращений к дифференциалам, получим

(33)

На основании этого уравнения запишем расходы жидкости на сжатие или расширение в виде

(34)

Подставив (34) в (28), (29) с учетом (16), получим

+

— (35)

Уравнение движения штока запишем в виде:

(36)

где m — масса поршня, штока и остальных движущихся частей. Линеаризуем уравнения (26) и (27), (35) и (36),

P₁=P₁₀+P₁; P₂=P₂₀+P₂; X_e =X₁₀ +X_e; Q₁=Q₁₀+Q₁; Q₂= Q₂₀+Q₂

В результате получим следующие уравнения в отклонениях

(37)

+

—

Приравнивая соответственно выражения для Q₁, и Q₂ отклонении, получаем

= + (38)

= —

Будем считать, что поршень находится в среднем положении, когда. V₁=V₂=V; в установившемся состоянии P₁₀=P₂₀; Q₁₀=Q₂₀. Тогда

P₁₀+P₂₀=P₀; P₁₀=P₂₀=P₀/2 (39)

Подставляя полученные зависимости в (38) и используя последнее уравнение (37), получим

(40)

Опустив знаки приращений, получим

(41)

Применив прямое преобразование Лапласа при нулевых начальных условиях, получим

(42)

Обозначим

Тогда

(T²_гпS²+2T_гп_гпS+1) (43)

1.5. Расчет параметров и составление уравнений пневматического серводвигателя

[2]

В системах автоматического управления работами и манипуляторами широко применяются пневматические серводвигатели как с поступательным перемещением штока, так и с вращательным. Рассмотрим серводвигатель поршневого типа (рис.9), состоящий из распределительного клапана и силового цилиндра.

Составим уравнение динамики двигателя этого типа. Запишем уравнение моментов

(44)

где F - площадь поршня; m — приведенная маccа поршня. Учитывая уравнения расхода воздуха для полостей силового цилиндра

(45)

(где Q₁ и Q₂ — секундные расходы воздуха в полостях; q — ускорение свободного падения; V₁ и V₂ — объемы полостей; ₁ и ₂ — плотности воздуха в полостях), получим зависимости, определяющие приток воздуха в полость 1 или его расход из полости 2, считая скорость истечения дозвуковой,

(46)

(47)

где  — коэффициент расхода воздуха; b — эквивалентная ширина отверстия; Х — перемещение штока золотника; P₀ — давление воздуха на входе в золотник; p₀ — давление воздуха в среде; ₀ — плотность воздуха на входе в эолотник; _a — плотность воздуха при давлении P_a; U - показатель политропы.

Зависимости, связывающие между собой давление воздуха и его плотность, имеет вид

(48)

После дифференцирования правых частей выражения (45) и подстановки в них формул (46), (44) получим

(49)

где L — длина цилиндра с учетом высоты поршня

(50)

С учетом (49), (50), запишем уравнение моментов в приращениях

где y=y₀+y; p₁=p₁₀+p; p₂=p₂₀+p_2; x=x₀+x

1.6. Расчет параметров и составление уравнений воздушного ресивера [2]

Рассмотрим в качестве объекта управления воздушный ресивер, общий вид которого показан на рис. 10.

На входе ресивера установлено заслонка с сечением F₁, а на выходе - с сечением F₂. Газ под давлением Р₁, большим критического, поступает через сечение F₁, в ресивер объекта \/, где устанавливается давление P. Следовательно истечение черва F₁, будет сверхкритическим. Газ через сечение F₂ поступает к потребителю под давлением P₂, меньшим критического. Скорость истечения газа является докритической.

Составим уравнение динамики в ресивере в виде

(52)

где  — удельный вес газа в рессивере; G₁ — массовый расход газа в сечении F₁; G₂ — весовой расход газа в сечении F₂.

При малом изменении температуры газа уравнение (52) будет

(53)

где R — постоянная Клапейрона; T — абсолютная температура газа.

При .cверхкритическом истечении газа через сечение F₁, массовый расход определяется по формуле

(54)

где  — коэффициент расхода через сечение F₁; К — показатель адиабаты газа; V₁ — удельный объем газа в сечении F₁.

Уравнение (54) с помощью подстановки , приводится к виду

где

Для докритического истечения газа череэ сечение F₂ можно найти его массовый расход

(55)

или в упрощенном виде

(56)

где T — температура газа внутри ресивера.

Тогда с учетом (55), (56) получим уравнение (53) в виде

Считая, что P₁ и Р₂ постоянны, после линеаризации получим

Уравнение статики будет иметь вид

а уравнение динамики в приращениях

Разделив левую и правую части уравнения на G₀, после некоторых преобразований, получим

Так как

то

Обозначим

(57)

Обозначим p/p = y; F/F₀=x₁; F/F₂₀=x₂; vp₀/RTG₀=T₀; (2p₀ – p₂)/2(p₀ – p₂)=

Тогда уравнение (57) принимает вид

(58)

Если принять, что выходное сечение F₂=const, то уравнение (57) приводится к окончательному виду

(59)

В этом уравнении параметр  называется степенью самовыравнивания объекта управления.

Степень самовыравнивания характеризует поведение объекта управления без регулятора.

При >0 объект управления обладает положительным самовыравниванием, в результате чего при перемещении заслонки F₁, на некоторую величину F₁ в ресивере устанавливается заданное давление. Если <0, то объект управления имеет отрицательное самовыравнивание. В данном случае перемещение заслонки на некоторую величину F₁ приведет к возрастанию давления в ресивере до значения P₁. В этом случае

обеспечить устойчивую работу объекта без регулятора невозможно. Наконец, если =0, то объект управления обладает нулевым самовыравниванием.

1.7. Выбор мощности исполнительного двигателя системы автоматического управления [1]

Рациональный выбор мощности исполнительного двигателя cистемы управления позволяет уменьшить потребление энергии и получить минимальные габариты и вес системы, которые определяются в основном двигателем и усилителем мощности.

В качестве исполнительных двигателей с управляемой скоростью вращения в САУ применяются двигатели переменного тока, постоянного тока с независимым возбуждением, гидравлические и др.

Рассмотрим рекомендации по выбору электродвигателя, как исполнительного устройства САУ. При этом скорость вращения двигателя должна превышать скорость вращения входного вала нагрузки. Поэтому двигатели соединяются с нагрузкой через редуктор.

При выборе мощности исполнительного двигателя необходимо определить коэффициент передачи редуктора, при котором обеспечивается заданные скорости вращения и ускорения на входном валу нагрузки, а требуемая мощность двигателя будем минимальной

Рассмотрим двигатели с линейными механическими характеристиками (рис. П), т.е. двигатели с независимым возбуждением.

Наклон механической характеристики определяется коэффициентом краткости между пусковым и номинальным моментами:

m=M_п/М_ном (60)

Для двигателей постоянного тока m=2+2,5, для асинхронных двигателей с полым ротором m2. Так как для двигателей постоянного тока ток пропорционален моменту, то величина определяется допустимым пусковым током.

В переходном режиме момент двигателя определяется уравнением

(61)

из которого видно, что он идет на преодоление сил энерции и статического момента сопротивления.

Если статический момент, обусловлен силами трения, то он является функцией знака скорости:

M_c(_g)=M_csign _g (62)

и всегда оказывает тормозящее действие. Такой статический момент создает в замкнутой системе зону нечувствительности (кривая I на рис.11,б), которая характеризуется напряжением трогания

U_тр=(M_c/M_n)U_{y max}

где U_{y max} — максимальное напряжение на двигателе, соответствующее насыщению управляющего усилителя. Это напряжение стремятся сделать минимальным, а для этого необходимо выполнение условия

M_c <<M_n

При Uтр 0,1U_{y max} характеристику двигателя можно считать линейной (кривая 2 на рис. 11,б).

В реальных системах напряжение трогания необходимо брать не больше 0,2+ 0,25U_ymax. При U_тр>0,1U_{y max} система управления становится нелинейной из-за зоны нечувствительности двигателя и люфта редуктора.

Для уменьшения влияния нелинейностей целесообразно применять гибкие обратные связи от выходной координаты двигателя.

В расчетах зону нечувствительности характеристики управления удобно определять через коэффициент

(64)

При линейных механических характеристиках U_{y max} развивается мощность на валу (Вт)

P_g=M_g=M_go(1 - M/M_n) (65)

где _go — скорость идеального хх двигателя (рад/сек); M—момент двигателя (Н*М).

Кривая P_g =M_g показана на рис.11,а.

При M=0,5M_n и _g=0,5_go мощность двигателя достигает максимального значения

P_gmax=0,25M_n_{go (66)}

Пусть задан момент энерции I_H[кг*м²], статический момент сопротивления М_стн[H*M], максимальная скорость вращения _Mmax[рад/сек] и ускорение E_Hmax[рад/сек] нагрузки.

Передаточную функцию двигателя представим в виде

(67)

где Т_эм — электромеханическая постоянная времени двигателя c учетом момента инерции нагрузки, (сек).

Переходный процесс определяется уравнением

_g(t)=_{g уст}(1 – е ^{– t/T}_эм) (68)

установившаяся скорость принимает значение

_gуст=_go(1 - _c) (69)

а ускорение, развиваемое двигателем

(70)

Величины _д и _д взаимосвязаны соотношением

(71)

Из (61) и (66) следует, что усилитель будет работать в

линейном режиме при выходном: напряжении U_y <= U_{y max}

если выполняется условие

(72)

где I=I_д +К_p²I_H — суммарный момент инерции;  — коэффициент, учитывающий момент инерции редуктора; I_д — собственный момент инерции двигателя; К_р²I_H —момент инерции нагрузки, приведенный к валу двигателя; M_c=M_cg+K_pM_сн/_р —суммарный статический момент сопротивления, приведённый к валу двигателя, где М_сд — собственный статический момент сопротивления двигателя, К_рМ_сн/_р — статический момент сопротивления нагрузки, приведенный к валу двигателя; _р — кпд редуктора.

Потребляемая мгновенная мощность на валу

(73)

А так как мощность наибольшая при _д =0,5_до, то желательным коэффициентом передачи редуктора является

(74)

Найдем оптимальное значение К_р, при котором момент двигателя и мощность при _нmax и _нmax минимальны

(75)

Минимизируя (46) по К_р, получим

(76)

Приравнивая (74), (76), найдем

(77)

При этом, подставляя I_д (77) в (75), найдем

(78)

При значениях можно считать, что

M_HOM=0,5M_n и P_{g max}=M_HOM(_go/2)

Ориентировочно номинальная мощность двигателя

(79)

где =2 при M_cn<I_H_{H max} =2 –3,5 при M_cn>=I_H_{H max}

Необходимые при расчете значения коэффициентов  и _р можно выбирать из следующих рекомендуемых величин:

 = 1,11,5, наибольшее значение для асинхронных двигателей с полым ротором;

_p= 0,7 + 0,9 при P_ном < =100 вт

_р=0,9+0,94 при Р_ном> 100 вт

Сделав первоначальный выбор двигателя, необходимо произвести проверочный расчет:

1) принять коэффициент передачи редуктора К_{р опт}, определив его по формуле (76);

2) найти статический момент сопротивления на валу двигателя; М_с=М_сд+К_{р опт} M_cN/_р

3) определить величину _с=М_с/М_n. Если _с<=0,1, то для дальнейших расчетов принимается К_{р опт}, при этом значение К_{р опт} должно быть близким к значению К_р, определенному из (74); .

4 ) вычислить электромеханическую постоянную времени

T_эм =I _go/M_n

5) проверить соотношение (72) при _{н max} и _{n max} взяв значение модности Р_g при _g=_{н max} /K_p, а величину развиваемого двигателем момента — из его механической характеристики. Если условие (72) выполняется и запас по мощности невелик, то параметры выбранного двигателя следует считать удовлетворительными.

1.8. Представление объектов и устройств систем управления в виде передаточных

функций

С целью упрощения методов расчете и проектирования систем автоматического управления динамики, представленные в виде дифференциальных уравнений, целесообразно записывать не через оригиналы функций, а в виде изображении функций, полученных с помощью прямого преобразования Далласа при нулевых начальных условиях [4,5].

Выполним прямое преобразование Лапласа для дифференциального уравнения

Так как изображение производной при кулевых начальных условиях

то а₃S³y(S)+a₂S²y(S)+a₁Sy(S)+d₀y(S)=bx(S)

или (а₃S³+a₂S²+a₁S+d₀ )y(S)=bx(S)

Определим отношение изображения выходного сигнала к изображении входного сигнала при нулевых начальных условиях

Это отношение изображений называется передаточной функцией W(S). Тогда передаточная функция двигателя постоянного тока будет иметь вид

при условии, что M_c=0. Передаточная функция гидравлического серводвигателя