А) Уравнения, описывающие переходные процессы.

Из уравнения механической характеристики (5.4) получим:

М = ₀  . (5.5,а)

Подставив (5.5,а) в уравнение движения (5.1), после элементарных преобразований будем иметь:

(5.13)

Коэффициент при производной как и раньше, - электромеханическая постоянная времени Т_м. Правая часть уравнения представляет собою скорость _с, соответствующую моменту сопротивления М_с, однако, в рассматриваемом случае ₀ , а значит и _с не постоянные величины, а известные функции времени ₀(t) и _c(t). Таким образом, уравнение (5.13) имеет вид:

. (5.14)

Решение этого дифференциального уравнения определит искомую зависимость (t).

Для получения зависимости М(t) удобно воспользоваться непосредственно уравнением движения (5.1), подставив в него производную найденной функции (t):

(5.15)

Правая часть уравнения (5.14), вообще говоря, может иметь любой вид. Закон ₀(t) в случае безынерционного преобразователя формируется на его входе; при инерционном преобразователе закон ₀(t) связан со свойствами преобразователя. В ряде случаев закон ₀(t) формируется таким образом, чтобы получить требуемый закон (t).

Б) Уравнение переходных процессов при линейном законе с(t)

Получим решение уравнения (5.14) для одного важного вида функции _с(t) - для линейного изменения _с во времени:

_с(t) = а + kt. (5.16)

Такой закон может быть сформирован при безынерционном преобразователе с помощью задатчика интенсивности.

Мы используем здесь общее уравнение прямой, не накладывая пока никаких ограничений на величины а и k с тем, чтобы, рассматривая частные случаи, можно было пользоваться полученным общим результатом.

Уравнение (5.14) с учетом (5.16) имеем вид:

(5.17)

Решение будем искать, как и прежде, в виде суммы свободной _св и принужденной _пр составляющих:

 = _св + _пр . (*)

Свободная составляющая, то есть решение однородного уравнения, полученного из (5.17) имеет вид:

Принужденную составляющую будем искать, учитывая (5.16), в виде:

_пр = В + kt,

так как в установившемся режиме скорость будет линейно изменяться во времени. Подставив _пр в (5.17) получим:

В + kt + kT_м = a + kt

или

B = a - kT _м.

Подставим теперь _св и_пр в (*):

Постоянную А найдем, используя начальные условия: при t = 0  = _нач:

_нач = А + а - kT_м,

откуда

А = _нач - а + kT_м

Окончательно будем иметь:

. (5.18)

Перейдем теперь к рассмотрению некоторых конкретных переходных процессов в системе П-Д.

В) Пуск вхолостую.

Будем полагать, что закон изменения во времени фактора, вызывающего переходный процесс, е_п или f₁ или в общем случае ₀ имеет вид, представленный на рис. 5.14 справа вверху. Так как М_с = 0 (пуск вхолостую), то _с = (t) будет совпадать с ₀(t) - см. уравнение (5.13), т.е. а = 0 и

где  - ускорение, характеризующее темп изменения ₀;

при 0 < t < t₁ _с(t) = t;

при t > t₁ _с(t) =₀₁ = сonst.

Излом функции _с(t) при t = t₁ свидетельствует о том что переходный процесс состоит из двух этапов, и его необходимо рассчитать отдельно для каждого участка.

I этап (0 < t < t₁).

Приняв, что при t = 0 _нач = 0 и подставив в (5.18) а = 0, k = , получим

(5.19)

Рис. 5.14. Механические характеристики и графики переходного процесса при пуске вхолостую с ₀(t) = t

Воспользовавшись уравнением (5.15), найдем закон изменения момента во времени:

(5.20)

Проанализируем полученные уравнения.

Ускорение привода определится как

и при t = 0 Этот результат очевиден: при t = 0 _с = ₀ = 0 т.е. е_п = 0 или f₁ = 0, привод не развивает момента и в соответствии с уравнением движения (5.1) и .

При t > 3Т_м , т.е. скорость изменяется в том же темпе, что и фактор, вызывающий переходный процесс. Из уравнения (5.19) следует, что при t > 3Т_м

 = (t - Т_м) = _с(t) - Т_{м .} (5.19,а)

Графики _с(t) и (t) представлены на рис. 5.14. Кривая (t) сдвинута вправо относительно кривой _с(t) на величину Т_м; в каждый момент времени при t > 3Т_м разница между _с и  составляет Т_м.

Момент в соответствии с (5.20) возрастает по экспоненциальному закону (см. рис. 5.14) и при t > 3Т_м достигает величины

M_макс = J. (5.20,а)

Это соотношение позволяет оценить допустимую величину . Действительно, если считать, что в переходном процессе М_макс = М_доп, то

В частности, можно найти минимальное время пуска привода при котором момент не превысит допустимого значения:

Если положить, что М_доп = 2 М_н, а , что справедливо для нормальной электрической машины средней мощности, то получим

II этап (t > t₁).

На II этапе _с =₀₁ , а значит, и е_п или f₁ имеют постоянную величину. Переходный процесс в этом случае ничем не отличается от рассмотренных ранее переходных процессов, отнесенных к первой группе задач. Если отсчитывать время от t₁, (точка 0’), то скорость  и момент М будут изменяться в соответствии с уравнением (5.10); в качестве х_нач следует принять значения  и М в момент времени t₁. Если t₁< 3Т_м, начальные значения должны быть лпределены по (5.19) и (5.20) при подстановке в эти уравнения t = t₁.

В качестве х_кон, очевидно, следует взять ₀₁ и 0.

Графики (t) и M(t) на II этапе показаны на рис. 5.14. Там же слева приведена динамическая механическая характеристка для случая пуска вхолостую.

Все рассмотренные выше величины и зависимости имеют очевидный физический смысл для системы П-Д с двигателем постоянного тока. Действительно,

т.е. кривая ₀(t) представляет собою в некотором масштабе закон изменения во времени е_п, а кривая (t) - закон изменения е в том же масштабе. Разность этих величин в соответствии с вторым законом Кирхгофа определит ток, протекающий в якорной цепи:

а значит, и момент, развиваемый двигателем

M(t) = ci(t).