Билет 4

1. К какому классу функций относится функция, задаваемая интерполяционной формулой Лагранжа?

1. К полиномиальным функциям.

2. К квадратичным функциям.

3. К экспоненциальным функциям.

2. Каким путем можно повысить точность интерполяции при использовании метода Ньютона?

1. Уменьшить число узлов интерполяции.

2. Увеличить число узлов интерполяции.

3. Использовать вторую формулу Ньютона для интерполяции.

3. Что относится к недостаткам сплайновой интерполяции?

1. Большой объем вычислений.

2. Низкая точность метода.

3. Задание большого количества ограничений при вычислениях.

4. Как в методе прямоугольников уменьшить погрешность на­хождения интеграла?

1. Увеличить число участков разбиения исходного интеграла.

2. Уменьшить число участков разбиения исходного интеграла.

3. В два раза увеличить число участков разбиения исходного интеграла.

5. В каких случаях метод трапеций находит применение?

1. При вычислении интегралов с небольшой точностью

2. При вычислении интегралов с большой точностью

3. При любых вычислениях интегралов

6. Являются ли постоянными весовые коэффициенты в слагае­мых в формуле Ньютона — Котеса?

1. Нет, коэффициенты не постоянны.

2. Да, коэффициенты постоянны

3. В методе нет весовых коэффициентов

7. Всегда ли позволяет метод половинного деления вычислить отделенный корень уравнения с заданной погрешностью?

1. Всегда

2. Нет

3. Не во всех случаях.

8. Что при отделении корней называют критическими точками?

4. Точки, в которых первая производная равна 0.

5. Точки, в которых первая производная равна 1.

6. Точки, в которых первая производная равна ∞.

9. Как проводится отделение корней при решении систем нели­нейных уравнений?

1. по известным методам отделения корней

2. никак, это невозможно.

3. как правило, отделения корней не производят

10. От чего зависит скорость сходимости метода Ньютона — Рафсона?

1. от начального приближения

2. от выбранной поисковой функции

3. от граничных условий

Задание №2 (2 балла)

Используя методы интерполяции Лагранжа и Ньютона, найдите значение y при x=2,34 двумя заданными способами с точностью до пятого знака. Подробно запишите алгоритм поиска каждого значения. Определите расхождение между полученными значениями y.

Таблица 1. Таблица исходных значений

x	2.0	2.1	2.2	2.3	2.4	2.5	2.6
y	0.0540	0.0440	0.03550	0.02830	0.02240	0.01750	0.01360

Задание №3 (2 балла)

Используя метод золотого сечения, найдите максимум функции R(x)=sin(Ax^B+C) на интервале [-1; 2] при А=2; В=2; С=2. Ошибка по x: =0,05. Подробно запишите алгоритм поиска максимума.

Условие поиска максимума методом золотого сечения выглядит следующим образом:

Если R(x₁)>R(x₂) то а=х₁; х₂=b-(x₁-a);

Если R(x₁)<R(x₂) то b= х₂; х₁ =а+(b- х₂).

; ; - максимальное значение, усредненное на последнем шаге метода золотого сечения.

Билет 5

1. Как уменьшить в методе трапеций погрешность нахождения интеграла?

1. Увеличить число участков разбиения исходного интеграла.

2. Уменьшить число участков разбиения исходного интеграла.

3. В два раза увеличить число участков разбиения исходного интеграла.

2. Если для построения аппроксимирующей функции средняя точка берется не в середине участка, то что изменится в алго­ритме метода Симпсона?

1. Вычислительная формула, точность метода.

2. Изменений не произойдет.

3. Расчет будет проходить по методу Ньютона-Котеса.

3. Какую функцию называют гладкой?

1. Если первая производная непрерывна.

2. Если функция проходит через три точки.

3. Если функция проходит через заданные начальную и конечную точки.

4. Можно ли повысить точность, одновременно увеличив в не­сколько раз все весовые коэффициенты?

1. Нет, так как при этом не изменится относительная важность точек.

2. Да, так как при этом изменится относительная важность точек.

3. Да, так как при этом не изменится относительная важность точек.

5. Является ли единственным аппроксимирующий полином, на­пример, 3-й степени, получаемый методом равномерного приближения?

1. Да, но только для базовой структуры критерия близости.

2. Нет, так как их можно получить несколько путем подбора констант.

3. Да, но только если изменить коэффициент весомости.

6. Может ли подынтегральная функция в методе Ньютона — Котеса аппроксимироваться полиномом второй степени?

1. Может аппроксимироваться только полиномом второго порядка

2. Да, может.

3. Может аппроксимироваться полиномом любого порядка

7. Как изменяется погрешность нахождения интеграла при уменьшении числа разбиений n?

1. Увеличится

2. Снизится

3. Не изменится

8. В чем заключается геометрическая интерпретация метода Ньютона?

1. замена нелинейной функции линейной

2. замена линейной функции нелинейной

3. замена нелинейной функции квадратичной параболой.

9. В чем заключается геометрический смысл метода параболи­ческой аппроксимации?

1. замена нелинейной функции линейной

2. замена линейной функции нелинейной

3. замена нелинейной функции параболой второго порядка.

10. Каким образом можно повысить точность решения системы нелинейных уравнений?

1. Уменьшить погрешность

2. увеличить погрешность

3. Точность повысить нельзя

Задание №2 (2 балла)

Используя методы интерполяции Лагранжа и Ньютона, найдите значение y при x=2,35 двумя заданными способами с точностью до пятого знака. Подробно запишите алгоритм поиска каждого значения. Определите расхождение между полученными значениями y.

Таблица 1. Таблица исходных значений

x	2.0	2.1	2.2	2.3	2.4	2.5	2.6
y	0.0540	0.0440	0.03550	0.02830	0.02240	0.01750	0.01360

Задание №3 (2 балла)

Используя метод золотого сечения, найдите максимум функции R(x)=sin(Ax^B+C) на интервале [-1; 2] при А=3; В=2; С=2. Ошибка по x: =0,05. Подробно запишите алгоритм поиска максимума.

Условие поиска максимума методом золотого сечения выглядит следующим образом:

Если R(x₁)>R(x₂) то а=х₁; х₂=b-(x₁-a);

Если R(x₁)<R(x₂) то b= х₂; х₁ =а+(b- х₂).

; ; - максимальное значение, усредненное на последнем шаге метода золотого сечения.