§ 2.4. Правило выбора решения и критерии его качества

Для решения задачи обнаружения в прибор еще на стадии его проектирования должно быть заложено определенное правило, следуя которому обеспечивается выдача решений ("Да") или ("Нет"). Это правило называется правилом выбора решения. Им должно предписываться, каким образом следует проводить анализ полученной реализации и при каком результате этого анализа прибор должен выдать одно из двух альтернативных решений.

Очевидно, что чем лучше заложенное в прибор правило, тем качественнее должны быть результаты работы прибора. Это говорит о том, что при разработке правила и оценке его эффективности целесообразно базироваться на вероятностных характеристиках обнаружения, рассмотренных в предыдущем параграфе. Иными словами, следует использовать величины , Q или R в качестве основы для выбора правила решения.

Рассмотрим вначале правило выбора решения, основанное на критерии максимума апостериорной вероятности. Суть правила состоит в том, что из двух решений ( или ) всегда следует выбирать такое, которому соответствует большее значение апостериорной условной вероятности: или . Иными словами, при следует принимать решение , а при - решение . На основании формулы (2.5) правило можно записать в таком виде:

или учитывая (2.6) и принятые ранее обозначения и ,

(2.14)

Таким образом, процедура принятия решения, предписываемая правилом, которое базируется на критерии максимума апостериорной вероятности, состоит в нахождении по полученной реализации отношения правдоподобия и его сравнения с некоторым пороговым значением . Для данного критерия пороговое значение численно равно отношению априорных вероятностей: . Можно показать (см., например,[7] и [13]), что прибор обнаружения, реализующий правило (2.14), позволяет получить минимально возможное значение вероятности Q ошибки любого рода. Поэтому критерий максимума апостериорной вероятности целесообразно использовать в тех случаях, когда ошибки ложной тревоги и пропуска объекта одинаково опасны и ставится задача минимизации суммарного числа ошибочных решений. Этот критерий часто называют критерием Котельникова, который применил его для решения задачи синтеза оптимальных приемных устройств, или критерием идеального наблюдателя *.

____________________________________________

^*) Под идеальным наблюдателем понимается наблюдатель, беспристрастно фиксирующий ошибки любого рода.

Для выработки правила принятия решения вместо вероятности Q можно использовать и другую» белее общую характеристику системы обнаружения - средний риск R. Если критерием качества работы прибора поставить условие минимизации среднего риска, то получаемое при этом правило можно записать в таком виде [7]:

(2.15)

Этот критерий называется критерием минимума среднего риска, или критерием Бейеса.

Процедура принятия решения, предписываемая полученным правилом (2.15), не отличается от предыдущей: также нужно определить отношение правдоподобия и сравнивать его с пороговым значением . Однако формула для расчета порога здесь уже другая. Величина зависит не только от отношения априорных вероятностей, но и от значений коэффициентов .

При и значение порогового отношения правдоподобия в правилах (2.14) и (2.15) одинаково. Это вполне объяснимо, так как в этом случае средний риск R равен безусловной вероятности Q появления ошибки любого рода [см. формулы (2.9) и (2.13)]. Следовательно, правило выбора решения по критерию максимума апостериорной вероятности является частным случаем правила выбора решения по критерию среднего риска .

В тех случаях, когда значения априорных вероятностей и коэффициентов потерь с достаточной степенью достоверности установить нельзя, необходимо применять правила выбора решения, базирующегося на других вероятностных критериях. Одним из таких критериев является критерий максимума правдоподобия. Вытекающий из этого критерия принцип формирования правила решения можно сформулировать следующим образом: наиболее правдоподобно то событие А, для которого функция правдоподобия максимальна. Как уже указывалось ранее (см. § 2.3), в задаче обнаружения функция правдоподобия имеет два значения: и . Поэтому при следует принимать решение ("Да"), в противоположном случае – решение ("Нет"). С учетом (2.6) правило выбора решения записывается в виде

(2.16)

Таким образом, и здесь процедура принятия решения остается прежней, а значение порога .

Нетрудно видеть, что правило выбора решения (2.16) является частным случаем правила (2.14), получаемым при . Иными словами, реализация правила (2.16) также позволяет минимизировать общее число ошибочных решений, если условия работы прибора обнаружения таковы, что вероятности нахождения и отсутствия объекта в его поле зрения одинаковы.

Не следует думать, что правило (2.16) лучше, чем (2.14). Верно лишь то, что его использование на практике представляется более реальным, так как в этом случае не требуется знания априорных вероятностей p и q. Однако за отсутствие любых априорных сведений о состоянии исследуемого пространства событий всегда приходится расплачиваться. Так происходит и в данном случае. Не зная действительных значений p и q, вполне обоснованно (хотя бы в порядке гарантии) при проектировании прибора взять такие их значения, которые соответствовали бы наихудшим условиям его работы как системы обнаружения. Такими

____________________

Отметим, что равенство порогов в правилах (2.14) и (2.15) достигается, в самом общем случае, при . При этом равенство R = Q может и не выполняться.

значениями как раз и являются значения . Поэтому минимум числа ошибочных решений, полученный с помощью правила (2.16), является наибольшим из всех других минимумов, которые могут быть получены по правилу (2.14) при . Иными словами, критерий максимального правдоподобия представляет собой так называемый минимаксный критерий применительно к решению задачи обнаружения, в которой ограничивается допустимое число ошибок любого рода. Аналогичный критерий существует и в рамках критерия минимума среднего риска R .

Минимаксный критерий предъявляет к системе обнаружения более жесткие требования, чем в тех же условиях критерий обычного типа.

Рассмотрим еще один критерий, используемый для построения правила выбора решения - критерий Неймана-Пирсона. Правило, базирующееся на этом критерии, обеспечивает получение максимальной величины условной вероятности правильного обнаружения при заданной величине условной вероятности ложных тревог. Говоря языком математической статистики, правило выбора решения по критерию Неймана-Пирсона при заданном уровне значимости дает наибольшую мощность решения по сравнению со всеми другими правилами.

Запись правила аналогична (2.14-2.16), т.е. в ней также присутствуют неравенства виде . Однако величина порогового отношения правдоподобия определяется совсем по-иному. Чтобы облегчить понимание способа определения , сделаем это несколько позже (см. §2.5). Здесь же лишь заметим, что в несколько измененном варианте критерий Неймана-Пирсона имеет наибольшее распространение на практике. Этот вариант использует вместо вероятности среднее число ложных тревог в единицу времени или обратную величину средний временной интервал между ложными тревогами:

.