§ 2.3. Вероятностные характеристики обнаружения

Принятие любого решения всегда может сопровождаться ошибками. Работа прибора в неопределенной ситуации (объект мажет находиться в поле зрения, а может и не находиться) при воздействии случайных помех также сопровождается ошибками, которые имеют вероятностный характер и, в той или иной степени, характеризуют качество прибора как системы обнаружения.

В нашем случае возможны ошибки двух типов. Первая, называемая ошибкой ложной тревоги, возникает, когда при отсутствии объекта в поле зрения прибор выдает решение "Да". Вторая соответствует случаю, когда при наличии объекта в поле зрения прибор выдает решение "Нет". Эта ошибка называется ошибкой пропуска объекта (сигнала).

Обозначим событие, заключающееся в выдаче прибором решения "Да", через , а событие, заключающееся в выдаче решения "Нет", через . Тогда вероятности появления ошибок первого и второго типов можно обозначить как и .

Вероятность , т.е. вероятность принятия решения ("Да") при условии отсутствия объекта обнаружения в поле зрения прибора, называется условной вероятностью ложной тревоги.

Вероятность , т.е. вероятность принятия решения ("Нет") при условии наличия объекта в поле зрения, называется условной вероятностью пропуска объекта.

Учитывая, что принципиально возможны лишь два взаимоисключающих решения и , т.е. что

и

можно получить:

; (2.7)

. (2.8)

Величина называется условной вероятностью правильного обнаружения, а величина - условной вероятностью правильного необнаружения.

Чем меньшие значения и (т.е. чем большие значения и ) реализует система обнаружения, тем выше ее качество. В математической статистике величина называется уровнем значимости, а величина - мощностью решения.

Используя понятия условных вероятностей и априорных вероятностей и , можно получить:

а) безусловные (абсолютные) вероятности правильных и ошибочных решений:

;

б) безусловную вероятность появления любой ошибки вне зависимости от ее характера:

(2.9)

Величины и определяют частоты появления ошибки ложной тревоги и ошибки пропуска объекта в длинной последовательности принятия решений. Величина Q определяет частоту появления любой ошибки, т.е. является уже несколько более общей характеристикой системы обнаружения.

Существует и еще одна, более общая (более универсальная) характеристика - так называемый средний риск R. Найти его можно следующим образом. При отсутствии объекта в поле зрения прибора возможны два решения ( и ) и соответственно два исхода: ложная тревога или правильное необнаружение, которые характеризуются условными вероятностями и . Вполне закономерно, если мы посчитаем, что за ошибку ложной тревоги придется расплачиваться, и учтем это положительным коэффициентом (платой за ошибку) . Положительные последствия правильного необнаружения (т.е. некоторый выигрыш) можно оценить отрицательным коэффициентом (отрицательной платой) . Величина

(2.10) в теории статистических решений называется условным риском, который соответствует условию отсутствия объекта в поле зрения прибора.

Рассуждая аналогичным образом, можно получить условный риск, соответствующий присутствию объекта в поле зрения:

(2.11) где - положительный коэффициент, характеризующий плату за ошибку пропуска объекта; - отрицательный коэффициент, характеризующий выигрыш, полученный при правильном обнаружении.

Подставляя в (2.10) и (2.11) вместо условных вероятностей безусловные, т.е. и можно получить выражения для безусловных рисков и . Сумма безусловных рисков равна среднему (суммарному) риску R:

(2.12) Подставляя в (2.12) и из (2,10) и (2.11) и учитывая (2.7) и (2.8), получим:

(2.13)

Очевидно, что при прочих равных условиях, т.е. при одинаковых и , из нескольких систем обнаружения лучше та, которая обеспечивает меньший риск R.

Нетрудно проверить, что при и

формула (2.13) переходит в формулу (2.9), т.е. средний риск в этом случае равен безусловной вероятности Q появления ошибки любого рода.

Оценка системы обнаружения по величине среднего риска на практике сопряжена с определенными трудностями, связанными с необходимостью априорного знания величины и всех коэффициентов , хотя некоторые общие соображения в отношении последних представить себе относительно просто. Ложная тревога, как правило, связана с лишними затратами времени, физической и нервной энергии, материальных средств. Пропуск же объекта, например, в условиях боевых действий, может повлечь за собой большие человеческие потери и значительный материальный ущерб. Однако задачу, как эти общие соображения трансформировать в систему оптимально взвешенных между собой коэффициентов, можно решить лишь применительно к конкретным условиям работы системы с использованием накопленного опыта, здравого смысла, а может быть, даже и интуиции.