§ 2.2. Априорная и апостериорная вероятности.

Отношение правдоподобия

З адача любого ОЭП в режиме обнаружения - выдача решения о наличии или отсутствии в поле зрения прибора объекта пеленгации. Информация, которая используется для принятия решения, должна быть извлечена из поступающего на вход прибора воздействия в виде потока электромагнитной энергии. Это воз действие, которое обозначим через , является функцией времени и представляет собой некоторую комбинацию полезного сигнала и фоновой помехи . Поскольку момент появления объекта в поле зрения прибора заранее предсказать не возможно, а помеха имеет случайный характер, то в каждом конкретном случае является одной из возможных реализаций случайного процесса. Такую реализацию (рис. 2.1) будем обозначать для краткости буквой .

Очевидно, реализация Y может содержать в себе полезный сигнал (если цель находится в поле зрения прибора), а может и не содержать. Обозначим вероятность присутствия полезного сигнала в реализации через , а вероятность его отсутствия через . Эти вероятности называются апостериорными условными вероятностями наличия и отсутствия полезного сигнала в реализации. Апостериорными они называются потому, что их можно определить только после опыта, т.е. после получения и анализа реализации. Условными их называют потому, что они соответствуют условию получения данной конкретной реализации. Если вид реализации, то изменятся и получаемые значения и .

Формулы для определения и можно найти, если воспользоваться известным выражением для вероятности совместного появления двух событий А и В:

Если в нашем случае считать, что событие А заключается в получении реализации Y, а событие B - в наличии полезного сигнала S , то получим

Откуда

(2.1)

Если считать, что событие B заключается в отсутствии сигнала то аналогично сказанному выше

. (2.2)

Формулы (2.1) и (2.2) представляют собой трансформированные применительно к решению задачи обнаружения формулы Байеса. В них величины и определяют априорные вероятности наличия и отсутствия полезного сигнала, т.е. априорные вероятности наличия или отсутствия объекта в поле зрения прибора. Величины и определяют вероятности появления реализации Y при условии наличия и отсутствия сигнала, а величина - полную вероятность получения реализации Y .

Отметим, что величина , определяющая вероятность появления конкретной реализации Y при условии, что имеет место некоторое событие В, зависит от того, что из себя представляет само событие В. Поэтому она является его функцией, называемой функцией правдоподобия. Она показывает, насколько правдоподобно получение реализации при данном событии В. При решении задачи обнаружения событие может заключаться либо в присутствии объекта в поле зрения прибора, либо в его отсутствии. Поэтому функция правдоподобия имеет всего два значения: и . В тех случаях, когда событий B множество или даже бесконечное множество, функция правдоподобия имеет соответственно конечное или бесконечное число значений.

Так как в задаче обнаружения оба события являются противоположными (т.е. несовместными и образующими полную группу событий), то справедливы следующие равенства:

; (2.3)

(2.4)

Разделив (2.1) на (2.2), с учетом (2.4), получим:

. (2.5)

Величина называется абсолютным или обобщенным отношением правдоподобия. Она играет очень важную роль в теории статистических решений вообще и в теории обнаружения в частности. Действительно, поскольку из (2.5) следует

,

то можно сделать вывод, что абсолютное отношение правдоподобия полностью определяет вероятность наличия (а следовательно, и отсутствия) сигнала в реализации. Если бы, например, анализ реализации показал, что , то . Следовательно, в соответствии с (2.4) , и более обоснованным было бы принятие решения "Да" (объект находится в поле зрения прибора), чем альтернативное решение "Нет".

К сожалению, та же формула (2.5) показывает, что для определения необходимо не только извлечь из анализа полученной реализации величину отношения

(2.6)

но и знать априори или , что на практике чаще всего не представляется возможным.

Величина , определяемая формулой (2.6), называется отношением правдоподобия. Она играет не менее важную роль в теории обнаружения, чем , так как при определенных условиях может быть найдена на основании анализа полученной реализации. Как мы увидим в дальнейшем, для этого достаточно располагать определенными сведениями о полезном сигнале и статистических характеристиках помехи.