Пример 2
Для условий предыдущего примера рассчитать АЧХ оптимального фильтра. Определить понижение отношения сигнал/шум при замене оптимального фильтра на идеальный полосовой фильтр.
АЧХ оптимального фильтра равна модулю его передаточной функции. В соответствии с (2.55) имеем:
.
АЧХ оптимального фильтра, построенная с использованием полученных в примере 1 спектров и , а также энергетического спектра шума ПЛЭ показана на рис. 2.17.
С
трого
говоря, она занимает неограниченный
диапазон частот от
до
,
и ее практическая реализация невозможна.
Однако, как показывает рисунок, ее
значения при
и
пренебрежимо малы и неучет этих диапазонов
не должен привести к существенному
понижению отношения сигнал/шум на выходе
фильтра.
Определим, насколько
понизится отношение сигнал/шум на входе
порогового устройства, если вместо
оптимального фильтра будет
использован идеальный полосовой фильтр
с прямоугольной АЧХ в диапазоне
частот
,
показанной на рис. 2.17 пунктиром. Для
расчета используем формулу (2.61), где
пределы интегрирования должны быть
согласованы с полосой пропускания
фильтра
.
Поскольку в этой полосе
,
то из (2.16) с учетом (2.54) получаем
.
Графическое интегрирование (рис. 2.18) дает
___________________
Так как фазовый
спектр сигнала на выходе ПЛЭ содержит
член
[см. формулы (2.53) и (1.14)], а фазочастотная
характеристика (ФЧХ) идеального полосового
фильтра пропорциональна
[13] , то использовать формулу (2.61), строго
говоря, мы не имеем право, поскольку не
выдерживается условие, оговоренное при
выводе формулы (2.58). Это препятствие
может быть преодолено, если считать,
что функция
в полосе пропускания фильтра допускает
линеаризацию, или,
не прибегая к последней, считать, что
ФЧХ полосового
фильтра соответствует ФЧХ оптимального
фильтра.
;
.
Следовательно,
и
,
т.е.
понижение отношение сигнал/шум составляет
16,5%. Расчеты
показывают, что расширение полосы
пропускания фильтра приводит
уже к более значительному уменьшению
отношения сигнал/шум. Например, для
фильтра с полосой пропускания в диапазоне
оно составляет приблизительно
70%.
Пример 3
Для условий примера 1 найти среднее число ложных тревог в единицу времени на выходе порогового устройства.
Для расчета используем формулу (2.66), подынтегральная функция которой может быть легко получена, если записать ее в таком виде:
,
где - подынтегральная функция (2.56), которая изображена на рис. 2.16.
Вид
функции
показан на рис. 2.19. Интегрирование дает
.
Тогда
при
и
имеем
.
Полученное значение настолько велико, что говорить о сколь-нибудь приемлемых характеристиках прибора по критерию числа ложных в единицу времени просто невозможно. Исправить положение можно увеличением либо за счет увеличения полезного сигнала, либо (что еще выгоднее) за счет уменьшения дисперсии помехи на выходе ПЛЭ. Предположим, что значение полезного сигнала удалось увеличить в 2,165 раза. Тогда отношение сигнал/шум возрастает в 4,637 раз, причем значение отношения не изменится. Поэтому
,
т.е. одна ложная тревога будет наблюдаться примерно за один час непрерывной работы прибора.
Найдем
такое значение
соответствует в рассматриваемом примере
значению
.
На
основании формулы (2.31) при
и
получим
,
т.е. условная вероятность ложной тревоги пренебрежимо мала.
Отметим,
что в других условиях обнаружения и при
других характеристиках прибора
соотношение между
и
при тех же самых
и
может отличаться от результата,
полученного в
настоящем примере.