§ 2.7. Расчет среднего числа ложных тревог в единицу времени

Чтобы обеспечить возможность практического использования видоизмененного критерия Неймана-Пирсона, необходимо установить связи между средним числом ложных тревог в единицу времени (над средним интервалом между ложными тревогами) и порогом обнаружения.

Ложная тревога возникает, когда при отсутствии полезного сигнала случайный выброс реализации превысит уровень срабатывания порогового устройства. Определим выброс как участок реализации, на котором кривая непрерывно идет выше уровня (рис.2.6). Для такого выброса характерно наличие одного пересечения уровня с положительным наклоном кривой (в начале выброса) и одного – с отрицательным наклоном (в конце выброса).

При отсутствии полезного сигнала в реализации содержится только помеха, т.е. . Следовательно, для нахождения среднего числа ложных тревог в единицу времени необходимо определить математическое ожидание числа выбросов случайной помехи в единицу времени. Иными словами, нужно найти математическое ожидание числа пересечений в единицу времени реализацией прямой при одном, знаке (например, положительном) производных в моменты .

Теория случайных процессов дает возможность решить эту задачу. В нашем случае помеха на входе порогового устройства представляет собой стационарный нормальный случайный процесс с нулевым средним и дисперсией . Тогда для определения среднего числа ложных тревог в единицу времени (средней частоты ложных тревог) можно воспользоваться формулой [12]

(2.33)

где - вторая производная корреляционной функции помехи на входе порогового устройства, взятая при . Полученная формула показывает, что средняя частота ложных тревог максимальна при и уменьшается с ростом абсолютного значения порога обнаружения. В соответствии с (2.25а) понижение порога приводит к уменьшению условной вероятности пропуска объекта. Таким образом, если при использовании видоизмененного критерия Неймана-Пирсона не вводить никаких ограничений на величину порога , то приходим к выводу, что бесконечно большой отрицательный порог позволяет получить сколь угодно малые значения и . Это противоречить физическому смыслу задачи. Для устранения противоречия достаточно ограничить величину порога обнаружения только положительными значениями .

________________________

При использовании критерия Неймана- Пирсона в таком ограничении нет необходимости, так как из-за снижения уменьшается и увеличивается [см. (2.23а)].

Если из (2.25а) найти

,

то условие можно записать в виде

(2.34)

или

Иными словами, значение отношения сигнал/шум на входе порогового устройства целиком и полностью определяет нижний предел условной вероятности пропуска объекта. Так, при получаем , а при предельно достижимая вероятность пропуска составляет уже 0.0128. Аналогичные результаты можно было бы получить непосредственно из (2.25а) при .

Совместное решение (2.33) и (2.25а) позволяет получить уравнение связи между и :

(2.35)

Анализ этого уравнения позволяет сделать следующие выводы:

1. Поскольку

,

то с учетом (2.34) . Следовательно, средняя частота ложных тревог при постоянных значениях и уменьшается с ростом отношения сигнал/шум на входе порогового устройства. Таким образом, повышение дает положительный эффект, уменьшая как , так и , т.е. улучшая обе вероятностные характеристики обнаружения, на которых базируется видоизмененный критерий Неймана-Пирсона. Однако применение специальной обработки входной реализации с целью увеличения не должно приводить к увеличению отношения на входе порогового устройства, так как это неблагоприятно скажется на значении . Наиболее желательным результатом такой обработки является максимально возможное увеличение при одновременном снижении отношения .

2. Значение отношения зависит от условий работы прибора и передаточных функций его отдельных звеньев. Поэтому построение рабочих характеристик обнаружения и нахождение требуемого значения отношения сигнал/шум на входе порогового устройства заранее невозможно. Как следствие, отсюда вытекает некоторое отличие методики энергетического расчета приборов, базирующихся на использовании видоизмененного критерия Неймана-Пирсона.

Отметим, что в техническом задании на разработку прибора вместо допустимого значения может указываться допустимый средний временной интервал между двумя соседними ложными тревогами. Этот интервал

(2.36)

Величина , входящая в (2.35), представляет собой дисперсию первой производной помехи на входа порогового устройства, т.е. по физическому смыслу должна быть величиной положительной. Очевидно, что расчет по формуле (2.35) возможен лишь в том случае, если эта дисперсия имеет конечное значение, т.е. процесс является дифференцируемым, по крайней мере, один раз. Не все случайные процессы удовлетворяют этому условию. Это указывает на некоторую ограниченность возможности использования видоизмененного критерия Неймана-Пирсона.