§ 2 Системы координат на прямой, на плоскос-

ТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ.

1. Координата на прямой вводится следующим образом: на прямой стрелкой указывается направление положительного изменения, определяется начало отсчёта - точка О и опре –деляется масштабная единица

1

Координатой произвольной точки называют длину отрезка , вычисленную в масштабных единицах ( в данном случае, координата точки равна ), причём, если точка находится правее точки , то знак координаты по- ложительный, а если левее, то отрицательный. Если даны две точки на прямой , то расстояние между ни -ми ищется по формуле:

. (1)

2. Декартова (прямоугольная) система координат на пло-скости задаётся двумя взаимно перпендикулярными осями. Точка их пересечения - это начало координат, на каждой оси вводится масштабная единица.

1

О 1

Ось называется осью абсцисс, ось - осью ординат.

Координатами произвольной точки в данной системе ко- ординат называются числа , вычис -ленные в масштабных единицах, причём эти координаты будут положительными, если точка расположена правее (выше) соответствующей координатной оси. В данной системе коор –динат: .

Расстояние между двумя точками и на плоскости вычисляется по формуле:

. (2)

3. В пространстве декартова (прямоугольная) система ко -ординат определяется осями, которые лежат в пересечениях трёх взаимно перпендикулярных плоскостей, пересекающихся в одной точке. Сами эти плоскости называются координатными плоскостями , соответственно. На каждой оси вводится масштабная единица

1

1

1

Ось называется осью аппликат. Точка в пространстве имеет три координаты . Расстояние между двумя точками и в пространстве опре- деляется по формуле, которая аналогична соответствующей формуле для плоскости:

(3)

4. Чтобы установить связь между векторами и системой ко-

ординат, требуется ввести понятие проекции вектора на ось.

Пусть дана произвольная ось и некоторый вектор :

Величина направленного отрезка с соответствующим знаком оси называется проекцией вектора на ось и обозначается . Из рисунка видно, что:

.

Если угол острый, то проекция положительна, если тупой, то проекция отрицательна. Проекции равных векторов на одну и ту же ось равны.

Проекции векторов имеют два основных свойства:

1. Проекция суммы векторов равна сумме их проекций.

Из рисунка видим, что

.

2. При умножении вектора на число его проекция умно -

жается на то же число:

.

Рассмотрим произвольный вектор и его проекции на оси координат. Вектор однозначно определяется своими проекция -ми на оси координат. (Равные векторы можно совместить параллельным переносом и они имеют одинаковые проекции, и наоборот, векторы с одинаковыми проекциями равны.)

Считаем, что вектор имеет проекции на оси координат равные, соответственно, . Причём, если вектор , где , то координа- ты вектора равны, соответственно,

Таким образом, чтобы найти координаты вектора (т.е. его проекции на оси координат) необходимо из координат - конечной точки вектора вычесть соответствующие коорди- наты точки - начальной точки вектора.

Вектор называется радиус – вектором точки . Из треугольника :

.

Тогда из треугольника имеем:

В частности, для вектора получаем: , т.е. длина вектора равна расстоянию между точками A и В.

Если - угол между вектором и осью , - угол между вектором и осью и - угол между вектором и осью , то , , , то получаем понятия, так называемых направляющих косинусов вектора :

; ;

.

Основное свойство направляющих косинусов, которое легко проверяется непосредственно:

(!)

Рассмотрим пример: найти вектор , длина которого , который образует равные острые углы с осями координат.

По условию: , поэтому, по свойству (!),

. (знак «+», так как углы острые), тогда .

Таким образом, вектор имеет координаты:

Рассмотрим задачу о делении отрезка в данном отноше -нии. Пусть даны две точки . Требуется найти координаты точки , которая делит отрезок в отношении , т.е отношение длин отрезков

Рассмотрим случай проекций на ось . ( Для остальных осей формулы получаются аналогичным образом).

Так как параллельные прямые отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки, то

Тогда Таким образом,

, аналогично, ; .

В частности, если , т.е. отрезок делится пополам, получаем координаты середины отрезка:

; ; . (+) Таким образом, координаты середины отрезка равны полу -сумме координат концов отрезка.

Пример. Найти координаты центра масс треугольника с вершинами:

О

Центр масс треугольника всегда находится в точке пересече -ния медиан, а медиана треугольника делит сторону пополам, тогда, по формулам (+), точка имеет координаты

, или .

Другое свойство медиан треугольника: медианы в точке пере- сечения делятся в отношении 2 : 1, считая от вершины треу –гольника, поэтому точка - центр масс (точка пере -сечения медиан) делит отрезок в отношении:

.

Тогда

Таким образом .

Вернёмся снова к линейным операциям над векторами.

Пусть даны два вектора . Тогда, учитывая свойства проекции вектора на ось, получаем следующие правила:

1)

2)

3)

Из последней формулы, учитывая определение коллинеарнос- ти векторов, получаем следующее условие коллинеарности:

.

Рассмотрим пример: пусть даны два вектора

.

Проверить коллинеарность векторов .

Найдём координаты векторов:

Проверим выполнение условия коллинеарности:

Координаты векторов пропорциональны, следовательно векторы коллинеарны, т.е. .

В заключение, придадим другой смысл проекциям вектора на координатные оси. С этой целью в заданной системе координат определим тройку векторов следующим образом:

1) векторы лежат на осях , соответст- вено, т.е. взаимно перпендикулярны. Их направления совпада- ют с положительными направлениями соответствующих коор -динатных осей;

2)

Единичные взаимно перпендикулярные векторы по другому называются ортами. В системе координат эти векторы имеют следующие координаты:

Тогда любой вектор можно записать следу- ющим образом: , т.е. любой вектор прост –ранства можно представить в виде линейной комбинации век- торов . Таким образом, векторы представляет собой естественный базис прямоугольной системы координат в пространстве.

ЗАМЕЧАНИЕ. Любые три некомпланарных вектора прост –ранства образуют его базис , т.е. любой другой вектор прост- ранства можно представить в виде линейной комбинации этих векторов.