§ 2 Определители матриц и их свойства
Любой
квадратной
матрице
по некоторому правилу можно поставить
в соответствие некоторое число,
которое называется её определителем
и обозначается либо
,
ли- бо
,
либо просто
.
Для матрицы второго порядка
.
Например:
Для вычисления определителей третьего порядка удобно воспользоваться, так называемым правилом треугольников:
Согласно этому правилу, определитель матрицы третьего порядка вычисляется по формуле:
Замечание 1. Следует заметить, что в данном выражении каждое произведение содержит элемент каждой строки и каж -дого столбца исходной матрицы, что позволяет доказывать не- которые свойства определителя.
Пример:
Замечание
2.
Для вычисления определителей более
высо -кого порядка нет таких простых
формул, но так же, как и оп -ределитель
третьего порядка, определитель
произвольного по -рядка
является суммой
слагаемых, в которые входят по одному
элементу из каждой строки и каждого
столбца мат- рицы с определённым
знаком. Вычисление определителей по-
рядка, большего чем 3, производится
с помощью понижения порядка, методами,
которые будут рассмотрены ниже.
СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ
1.
Определитель транспонированной матрицы
равен определителю исходной матрицы,
т.е.
Это
означает, что все свойства, относящиеся
к строкам исходной матрицы, имеют
место также и для столбцов матрицы.
В са-
мом
деле, для случая матрицы третьего
порядка,
2. Знак определителя сменится на противоположный, если поменять местами две строки или два столбца матрицы.
Например:
Если сравнить полученное выражение с формулой (1), то видим, что все произведения поменяли знак.
3. Если определитель имеет две одинаковые строки (столбца), то он равен нулю.
В
самом деле, если мы поменяем местами
две одинаковые строки, то, по свойству
2, знак определителя должен сменить-
ся на противоположный, хотя на самом
деле, его значение не должно измениться,
т.е.
.
Но это возможно только в случае
.
4. Умножение всех элементов одной строки (столбца) матрицы на некоторое число приводит к увеличению значения определителя в раз, например,
.
В самом деле, по замечанию 1, в каждом слагаемом в формуле (1) для вычисления определителя 3-го порядка, в произведениях содержится элемент каждой строки и каждого столбца матрицы, т.е. можно вынести общий множитель за скобку и получить в скобке значение первоначального опреде -лителя. То же самое, согласно замечанию 2, имеет место и для определителя произвольного порядка.
Следующее свойство также автоматически следуют из замечаний 1 и 2.
5. Если все элементы некоторой строки (столбца) матрицы равны нулю, то её определитель равен нулю.
6. Если две строки (столбца) матрицы пропорцио -нальны, то её определитель равен нулю.
(Это следствие свойств 3 и 4).
7. Если каждый элемент некоторой строки (столбца) матрицы равен сумме двух слагаемых, то определитель можно представить в виде суммы двух определителей, в первом из которых на месте данной строки (столбца) размещены первые, а во втором - вторые слагаемые.
Например:
.
Это свойство легко проверить непосредственным вычисле- нием определителей.
8. Значение определителя не изменится, если к эле -ментам некоторой строки (столбца) матрицы добавить элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число.
Например, если
,
,
то, по предыдущему свойству и свойству
6 ,
.
Для
определителей порядка
доказательство всех перечисленных
свойств аналогично.
Чтобы сформулировать следующие свойства определителя, необходимо ввести два определения.
Определение
1
Минором
элемента
квадратной
мат- рицы
называется
определитель матрицы, которая получается
из мат- рицы
после вычёркивания
- й строки и
- го столбца, т.е.
.
Определение
2. Алгебраическим
дополнением
элемен-
та
квадратной
матрицы
называется
минор этого эле- мента с соответствующим
знаком, т.е.
.
9. Определитель равен сумме произведений элемен -тов некоторой строки или столбца на их алгебраичес- кие дополнения, т.е.
,
или
где
любое из чисел
.
Эта формула называется разложением
определителя по элементам
- й строки, или разложением по элементам
-го
столбца,
соответственно,
(
или разложением Лапласа.).
Доказывать это свойство не будем, однако его достаточно легко проверить на примерах при вычислении определителей.
10.
Сумма
произведений элементов некоторой
вектор – строки
и алгебраических дополнений эле-
ментов
- й матрицы
численно равна значению опре- делителя
матрицы, которая получается из матрицы
заменой
- й строки этим вектором,
например
.
Аналогичное свойство имеет место и для столбцов .
11. Сумма произведений элементов некоторой строки (столбца) на алгебраические дополнения элементов дру -гой строки (столбца) равна нулю.
Это следует из предыдущего свойства и свойства 3 (опре -делитель с одинаковыми строками или столбцами равен нулю).
12. Определитель треугольной матрицы равен произ- ведению элементов главной диагонали.
.
Это свойство также легко проверяется непосредственно, вы- числением определителя.
Рассмотрим пример вычисления определителя 4 – го поряд- ка двумя способами: 1) понижением порядка с помощью разло- жения по элементам строки (разложением Лапласа) и 2) пони- жением порядка с помощью элементарных преобразований (т.е., используя основные свойства определителей).
Пример. Вычислить определитель:
.
Первый способ: разложим определитель по элементам 1 – й строки
+
+
+
+4
=
=
.
Вычислим каждый из полученных определителей третьего порядка по отдельности также используя разложение по эле- ментам первой строки, хотя можно было бы воспользоваться и «правилом треугольников».
Тогда
Второй способ: вычислим тот же определитель с помощью элементарных преобразований.
=
Получим нули в первом столбце, для чего умножим третью строку на ( 2 ) и прибавим к первой строке и ту же третью строку прибавим к второй и четвёртой строке. По свойству 8, значение определителя при этом не изменится. После получе-ния нулей в первом столбце, разложив полученный определи -тель по элементам первого столбца, получим
получим ноль в последней строке, умножив второй столбец на ( - 4 ) и прибавив его к первому столбцу
=
-
.
Как видим, вычисление определителя вторым способом бо -лее экономично, т.е. быстрее приводит к результату. Кроме то- го, вычисление определителей порядка большего чем 4 пер -вым способом приведёт к очень громоздким вычислениям, по- этому при вычислении определителей высокого порядка целе- сообразно пользоваться вторым способом.