§ 3 Обратная матрица
В
§ 1 было введено понятие обратной
матрицы, как матри- цы, удовлетворяющей
условию
.
Теперь же, зная свойства определителей,
можем доказать теорему о виде обратной
матрицы, при условии, что она
невырожденная т.е. её определитель
.
ТЕОРЕМА. Для любой невырожденной квадратной матрицы обратную матрицу можно найти по формуле:
,
где
- алгебраические дополнения соот-
ветствующих элементов матрицы
,
причём алгебраические дополнения
элементов строк матрицы
записаны столбцами в матрице
.
Проверим, что данная матрица в самом деле является обратной к матрице , использовав определение обратной матрицы. В самом деле,
Используя правило умножения матриц, а также свойства 9 и 11 определителей, получим:
.
При умножении матриц в обратном порядке также получим единичную матрицу (можно проверить непосредственно), т.е. матрица в самом деле является обратной к матрице .
Пример. Найти матрицу, обратную к матрице
.
Сначала найдём её определитель:
Следовательно
матрица невырожденная и для неё
можно найти обратную матрицу. Для
этого найдём алгебраические дополнения
всех элементов матрицы.
Тогда
.
Сделаем проверку
Т.о.,
в самом деле, получили обратную
матрицу.
Отдельно рассмотрим случай нахождения обратной матрицы второго порядка. Пусть дана матрица
Тогда для данной матрицы
и обратная матрица имеет вид:
,
т.е. элементы главной
диагонали меняются местами, а эле
-менты вспомогательной диагонали
меняют знаки.
Пример. Решить матричное уравнение:
если
РЕШЕНИЕ: Из этого равенства имеем:
Для
матрицы
:
и
для матрицы
и
;
Тогда
Приведём ещё одно определение, связанное с понятиями матрицы и определителя.
Рангом
матрицы
называется максимальный поря- док
отличного от нуля минора данной
матрицы. В этом опре- делении минором
порядка
называется определитель, сос -тавленный
из элементов матрицы
,
расположенных на пере- сечении
выбранных строк и
выбранных строк.
Например, найдём ранг матрицы
.
Миноры
порядков 1, 2, 3, соответственно, расположенные в левом верхнем углу матрицы , называются главными.
Главный
минор 2 – го порядка
,
Следовательно,
.
Вычислим миноры третьего порядка:
Поэтому
