§ 4. Прямая в пространстве
Любую прямую в пространстве можно задать пересечением двух не параллельных плоскостей, т.е. система двух уравне -ний плоскостей представляет собой общие уравнения прямой, которая получается при их пересечении:
(1)
Здесь
и
- не
коллинеарные нормальнве векторы данных плоскостей, т.е. их координаты не пропорциональны.
Иначе уравнение прямой можно задать следующим образом:
-
фиксированная
точка данной прямой,
- текущая
точка прямой,
- направляя-
ющий вектор
прямой. Тогда уравнение прямой
получается из условия коллинеарности
(т.е. пропорциональности) векторов
и
,
т.е. по формуле:
(2)
Уравнения (2) называются каноническими уравнениями прямой.
В
частности, если на прямой заданы две
точки
и
,
то в качестве направляющего вектора
можем взять вектор
и уравнение прямой в этом случае
принимает вид:
(3)
Например:
Написать уравнение прямой, проходящей
через точки
.
По формуле (3), получаем:
.
Если в равенстве (2) введём параметр
,
то получим параметрическое уравнение данной прямой:
(4)
Переход от общих уравнений к каноническим выполняется следующим образом: из рисунка
видим,
что направляющий вектор прямой
(как вектор, лежащий в соответствующих
плоскостях) можно найти через векторное
произведение векторов, т.е., если
прямая задана общими уравнениями:
(5)
и
,
,
то
.
Но
для того, чтобы написать каноническое
уравнение пря -мой, необходимо знать
какую – нибудь точку на данной пря
-мой. Чтобы найти какую – нибудь точку,
в системе (5) зафиксируем одну
координату, например, положим
,
а остальные две найдём как решение
системы.
Рассмотрим пример:
Написать канонические уравнения прямой:
В
данном случае,
.
Тогда
Теперь
найдём какую – нибудь точку на этой
прямой. В данном примере удобно
положить
.
Получаем систему:
Сложим
эти уравнения:
тогда
и точка
лежит на прямой, следовательно, её
кано- нические уравнения можно записать
в виде:
Угол
между прямыми в пространстве
равен углу между их направляющими
векторами, т.е. для прямых
с направ– ляющими векторами
:
Если
прямые параллельны, то
и получаем условие
параллельности прямых:
.
Если
прямые перпендикулярны, то
и из условия ортогональности векторов
получаем условие
перпендикуляр -ности прямых:
Пример. Доказать перпендикулярность прямых:
и
Направляющий
вектор первой прямой:
;
на –правляющий вектор второй прямой:
,
где
.
Тогда
т.е.
.
Проверим условие перпендикулярности
плос- костей:
.
Направляющие векторы ортогональны,
следовательно, прямые перпендикулярны.