2 Алгоритм графического метода решения задач лп:

1. Построить область допустимых решений.

2. Если область допустимых решений является пустым множеством, то задача не имеет решения ввиду несовместности системы ограничений.

3. Если область допустимых решений является непустым множеством, построить нормаль линий уровня n = (c₁ ,c₂ ) и одну из линий уровня, имеющую общие точки с этой областью.

4. Линию уровня переместить до опорной прямой в задаче на максимум в направлении нормали, в задаче на минимум- в противоположном направлении.

5. Если при перемещении линии уровня по области допустимых решений в направлении, соответствующем приближению к экстремуму целевой функции, линия уровня уходит в бесконечность, то задача не имеет решения в виду неограниченности целевой функции.

6. Если задача линейного программирования имеет оптимальное решение, то для его нахождения решить совместно уравнения прямых, ограничивающих область допустимых решений и имеющих общие точки c соответствующей опорной прямой. Если целевая функция задачи достигает экстремума в двух угловых точках, то задача имеет бесконечное множество решений. Оптимальным решением является любая выпуклая линейная комбинация этих точек. После нахождения оптимальных решений вычислить значение целевой функции на этих решениях.

Пример 1.

Рассмотрим геометрическое истолкование задачи из Примера 2.1.1

Возьмем с₁ = 1 и с₂ = 1

Математическая модель задачи:

Решение:

1. Построение области допустимых решений целевой функции F.

Построим прямоугольную систему координат. Так как, x₁ и x₂ неотрицательны, то можно ограничится рассмотрением первого квадранта.

Рассмотрим первое ограничение:

x₁+2x₂ = 10 (1)

x₁ = 0 x₂ = 5

x₁ = 10 x₂ = 0

Рассмотрим второе ограничение:

2x₁+x₂ = 8 (2)

x₁ = 0 x₂ = 8

x₁ = 4 x₂ = 0

Отложим полученные точки на числовых осях и найдем полуплоскости, которые соответствуют данным ограничениям.

2. Построить нормаль линий уровня n = (c₁ ,c₂ ).

3. Линию уровня F переместим до опорной прямой в направлении нормали, т.к. в задаче необходимо определить максимум целевой функции.

4. Точкой максимума здесь является точка С, координаты которой определяются из следующей системы уравнений:

решая которую, получаем точку максимума С (2;4), F_max = 6.(см. рис.2.6)

рис.2.6

Конец примера.

Пример 2

Известно, что уравнение прямой имеет вид: a₁x₁+a₂x₂=b. Построим прям ую 2x₁+x₂=2. Перепишем это уравнение в виде:

При такой форме записи в знаменателе показаны отрезки, которые отсекает прямая на осях координат (Рис. 7.2). Если от исходного уравнения перейти к неравенству 2x1+x2≤2, то графически решение этого неравенства показано на рис. 7.3, т.е. решением линейного неравенства с двумя переменными является полуплоскость. На рис. 7.3 часть плоскости, которая не удовлетворяет неравенству расположена выше прямой, заштрихована. Координаты всех точек, принадлежащих не заштрихованной части плоскости, имеют такие значения х1 и х2, которые удовлетворяют заданному неравенству. Эта полуплоскость является областью допустимых решений (ОДР).

Рассмотрим систему неравенств:

Для удобства запишем ее в следующем виде:

Г рафическое решение этой системы показано на рис. 7.4

Решением этой системы являются координаты всех точек, принадлежащих ОДР, т.е. многоугольнику ABCDO.

Т.к. в ОДР бесчисленное множество точек, значит, рассматриваемая система имеет бесчисленное множество допустимых решений.

Если мы хотим найти оптимальное решение, то мы должны принять целевую функцию. Пусть мы хотим, чтобы решение было оптимальным в смысле максимизации целевой функции F=x₁+x₂→max

Эта зависимость на рис. 7.5 представлена в форме уравнения прямой с угловым коэффициентом x2=F-x1, из которого видно, что tga= -1. При этом угол a=135°, а величина F равна отрезку, отсекаемому прямой на оси ординат. Если прямую перемещать параллельно самой себе в направлении, указанном стрелками, то величина F будет возрастать. Совместим теперь ОДР, изображенную на рис. 7.4, с линией целевой функции F, построенной на рис. 7.5, получим рис. 7.6.

Поскольку требуется найти оптимальное решение, при котором целевая функция F=x1+x2→max, т.е. стремится к максимуму, будем перемещать график целевой функции в направлении увеличения F. Очевидно, что оптимальным решением будут координаты точки С, равные х₁^* и х₂^*. При этом F=F^*.

На основании рассмотренного можно сделать вывод: оптимальным решением являются координаты вершин ОДР.

На этом базируется аналитический метод решения задач линейного программирования, который заключается в следующем:

• Найти вершины ОРД, как точки пересечения ограничений.

• Определить последовательно значения целевой функции в вершинах.

• Вершина, в которой ЦФ приобретает оптимальное (максимальное или минимальное) значение, является оптимальной вершиной.

• Координаты этой вершины и являются искомыми оптимальными значениями переменных.

Пример 3

Построить на плоскости область допустимых решений системы линейных неравенств и найти экстремальные значения линейной функции в этой области.

Область допустимых решений будет ограничена прямыми:

и осями координат .

Поиск экстремумов линейной функции будем вести по направлению вектора .

Область допустимых решений находится в многоугольнике .

Максимум функции находится в точке ,

Минимум функции — все значения линии , .