2. Динамика механических колебаний
2.1. Основные формулы и соотношения
Сила, действующая на материальную точку массой
.
(2.1)
Энергия материальной точки, совершающей гармонические колебания; для различных видов энергии выражается:
– кинетическая энергия:
; (2.2)
– потенциальная энергия:
; (2.3)
– полная энергия:
(2.4)
2.2. Примеры решения задач
Задача 1. Материальная точка массой
40 г совершает гармонические колебания
по закону
.
Определить скорость
и ускорение
в момент времени, когда кинетическая
энергия материальной точки в два раза
меньше полной энергии
.
Решение. Значения амплитуды
,
циклической частоты
и начальной фазы
взяты из уравнения колебаний (
,
).
Согласно формуле (1.11) полная энергия
материальной точки определяется
выражением
.
Кинетическая энергия,
,
тогда, согласно условию задачи, получаем:
откуда
.
(2.5)
Для нахождения момента времени определим скорость, взяв производную от смещения по времени :
.
(2.6)
Подставив в (1.13) вместо скорости (1.12), получаем
Из полученного уравнения выразим момент времени:
. (2.7)
Подставив в формулу (1.14) значения
и
,
вычислим момент времени:
.
Ускорение определим, взяв производную от скорости по времени,
.
(2.8)
Проверим размерности формул (2.5) и (2.8)
=
м/с ;
=
м/с2 . В формулы (2.5) и (2.8) подставив
значения
и
,
вычислим скорость и ускорение:
,
.
Задача 2. Материальная точка массой
10 г, совершает гармонические колебания
с периодом
= 2 с. Амплитуда колебаний
= 4 см. Определить: 1) максимальную силу
,
действующую на точку; 2) полную энергию
колеблющейся точки.
2. Силу, действующую на точку, найдем по второму закону Ньютона (2.1):
где
– ускорение точки, которое получим,
взяв производную от скорости по времени:
.
Подставив выражение ускорения в формулу (2.1), получим :
.
Отсюда максимальная сила
.
Проверим размерность
.
Подставив значения
и
,
найдем :
.
3. Полную энергию в точке определим по формуле (2.4):
.
Проверим размерность
.
Подставив значения величин в эту формулу, вычислим энергию:
.
201 – 215. Груз массой
,
подвешенный к пружине, совершает
колебание по закону
.
Определить величины, характеризующие
колебательный процесс, указанные в
табл.2.1 наклонным шрифтом по данным
таблицы.
Обозначения в таблице:
– масса,
–
период,
–
коэффициент жесткости,
–
момент времени,
–
сила,
– смещение,
–
энергия,
– амплитуда колебания.
216 – 230. Математический маятник массой 0,2 кг совершает гармонические колебания с амплитудой 0,1 м. Определить параметры, характеризующие колебания, указанные в табл.2.2 наклонным шрифтом, по данным таблицы и записать уравнение гармонических колебаний.
Обозначения в табл.2.2:
– длина маятника,
–
момент времени,
–
начальная фаза,
– смещение,
– сила,
–
период,
– ускорение.
Таблица 2.1
N |
m, кг |
Т, с |
k, Н/м |
t, с |
F, Н |
х, м |
Е, Дж |
А, м |
201 |
0,25 |
1 |
9,86 |
0,1 |
0,78 |
0,08 |
0,049 |
0,1 |
202 |
0,1 |
0,513 |
15 |
0,132 |
-0,3 |
0,02 |
0,3 |
0,2 |
203 |
1,01 |
2 |
10 |
4 |
1 |
0,1 |
0,05 |
0,1 |
204 |
0,5 |
0,362 |
150 |
0,127 |
- 5 |
0,033 |
0.75 |
0,1 |
205 |
0,1 |
12,82 |
0,024 |
2 |
0,0009 |
0,04 |
0,0005 |
0,2 |
206 |
0,5 |
5 |
0,79 |
6 |
0,24 |
0,3 |
0,036 |
0,3 |
207 |
40,6 |
4 |
100 |
1,38 |
3 |
0,03 |
1 |
0,14 |
208 |
162,3 |
2 |
1600 |
1,4 |
25,6 |
0,016 |
2 |
0,05 |
209 |
0,1 |
0,628 |
10 |
0,209 |
0,5 |
0,05 |
0,05 |
0,1 |
210 |
0,1 |
0,5 |
15,77 |
0,13 |
0,6 |
0,038 |
0,315 |
0,2 |
211 |
110,6 |
17,2 |
15 |
2 |
4,5 |
0,3 |
1,2 |
0,4 |
212 |
16,37 |
2 |
163,27 |
1,6 |
- 4 |
0,0245 |
0,816 |
0,1 |
213 |
0,025 |
0,1 |
100 |
1,5 |
24,3 |
0,243 |
3 |
0,245 |
214 |
0,4 |
0,35 |
128 |
0,2 |
29,4 |
0,23 |
4 |
0,25 |
215 |
0,2 |
0,053 |
150 |
1 |
30 |
-0,2 |
6,22 |
0,288 |
Таблица 2.2
N |
l, м |
t, c |
o, o |
х, м |
F, н |
T, c |
a, м/с2 |
216 |
1 |
0,56 |
0 |
0,02 |
1 |
2 |
0,2 |
217 |
1 |
1 |
53,1 |
- 0,06 |
0,623 |
2 |
3,117 |
218 |
0,249 |
0,25 |
90 |
0,1 |
0,8 |
1 |
-4 |
219 |
0,14 |
0,5 |
143,6 |
0,0058 |
0,08 |
0,75 |
0,4 |
220 |
0,8 |
0,5 |
30o |
0,061 |
0,0748 |
1,79 |
0,748 |
221 |
0,994 |
0,468 |
0o |
0,01 |
0,0197 |
2 |
0,099 |
222 |
0,4 |
1 |
169,5 |
0,041 |
0,2 |
1,269 |
1 |
223 |
1 |
0,15 |
45o |
0,03 |
0,0589 |
2 |
0,2943 |
224 |
0,6 |
0,5 |
0o |
0,0436 |
0,14 |
1,55 |
0,713 |
225 |
0,559 |
0,296 |
30o |
0,019 |
0,6 |
1,5 |
0,333 |
226 |
2 |
2 |
106,2 |
0,1 |
0,1 |
2,84 |
-0,5 |
227 |
1 |
0 |
0o |
0,1 |
0,2 |
2 |
-1 |
228 |
1 |
1 |
0o |
0,1 |
0,2 |
2 |
1 |
229 |
0,248 |
0,8 |
60o |
0,0015 |
-0,3 |
1 |
0,06 |
200 |
2 |
0,4 |
0o |
0,063 |
0,062 |
2,84 |
0,31 |